*数学 [#b0873c02]
やはりプログラミングに数学はつき物です。ここではよく使われる数学について簡単に解説します。
#contents
#author("2023-11-12T02:39:13+09:00;2023-02-23T23:33:35+09:00","default:vip","vip")
// うんこ掃除しました 2023-11

**書いてほしいもの [#n55b2581]
-[[行列]]
-アフィン変換
-四元数
-フーリエ変換(いらない?)(いや、いりますwww)

**数学の基本演算について [#t387c16a]
四則演算は小学校でもならうが、加えて数学ではこれに余りを求める計算である''モジュラー函数''がある。モジュラー函数はmodという記号で表す。プログラミングでは「%」などの記号でこれを表すが、数学のモジュラー函数の影響からかこんなものがあるわけ。

四則演算の重要性はいうまでもないが、モジュラー函数に関しては研究が進んでおらず、それでもなお特に数論において重要性が説かれる。というのも、たとえばRSA暗号では素数と余りの関係を用いた式が暗号復号化を表すが、斯様にしてモジュラー函数が暗号に於いて数論的応用法を見せた一例があるからだ。

モジュラー函数は日本人によって橢圓方程式との関連が予想された。氏の名前をとってこれを''谷山・志村の定理''など呼ぶが、モジュラー函数が、ただのあまりを求めるだけの式が、代数と結びつき、かつそれはフェルマーの最終定理を證明したアンドリュー・ワイルズにより證明された。フェルマーの最終定理事体が難解な(しかしその式は平易な)数論の問題で、かつ橢圓方程式とモジュラー函数に密接な関係を見せた定理である。

四則演算と違って、モジュラー函数はそれじたい特殊な性質がある様子。暗号技術を作りたい人は学んで損は無い、のかも知れない。

//  こいつはなんて項目にすんべ?
//  Re:部分和とか集合論的だから集合でよくね?
**集合 - 総和 [#t8aae2f1]
***定義 [#be6a21af]
総和(そうわ、summation)とはある集合の項その総ての和であり、いわゆるExcelのSum関数です。つまり全部足す、だから総和です。&mimetex(\sum_{i=1}^n x_i);のような書式で表されます(ゼータ∑はギリシヤ語のSを表し、シグマと呼ぶ)。項数iが1から始まってnまで、項はXiがX1からXnとなるので、それXiを足していくという意味です。なんだかforループみたいですね。

***例 [#c0bc1bb5]
#mimetex(\sum_{n=1}^5 2n = 2\times 1 + 2\times 2 + 2\times 3 + 2\times 4 + 2\times 5);
のように展開されます。~
プログラムで書くと以下のようになります。

 int i, sum=0;
 for(i=1; i<=5; i++)
   sum += 2*i;
 
 return sum;

ただこれは、数Ⅱの数列をやればわかるけれど、一般化された解が存在することがある。Xn=nの場合、その総和は初項から第n項までなら、n(n+1)/2 と定まるようにね。

***演算 [#i7d403b7]
総和が干渉するのはその項数のみ。従って次の計算ができる。

&mimetex(m \times \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n m \times a_k);~
&mimetex(\sum_{k=1}^n (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k);

当り前と言えば当り前。したがって次の変換には要注意である。&mimetex(\sum_{k=1}^n n \times k = n \times \sum_{k=1}^n k);~
なおこの変換とこの式とを区別すること。&mimetex(\sum_{k=1}^n k^2);

***参照 [#zb0cbdef]
-[[級数:Wikipedia:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%9A%E6%95%B0]]
-[[総和:Wikipedia:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%8F%E5%92%8C]]

***無限級数 [#jca716e2]
総和する項数を無限大にまで拡張したもののこと。ハハハそんなの求まりっこないよ、とおもうかもしれないけれど、これは求まることがある。数Ⅲの極限をやりたまへ。

***ゼータ函数 [#n890425c]
&mimetex(\zeta (s) = \sum^{\infty}_{n=1} { 1 \over {n^s}});

同じゼータでも小文字のζ(スティグマ)で表す。ベルンハルト・リーマンによって定式化された、とっても重要な式。もともとは数学的な探究のひとつとして、この式のs=2のときの無限級数には解が何と定まるかを求める問題だった。收束することは明らかだけれど、その値を求めることができず、この問題が提示されて百年後にオイラーによってテイラー展開を用いる解法が示された。これをバーゼル問題といって、これに着目したリーマンがゼータ函数として一般化した。現在でも求める事のできないsの値が存在する。

一往に「足し算?」といってもそう簡単に求まる物でもないのでその例を示した。

**集合 - 総乗 [#see73da6]
&mimetex(\prod_{i=1}^n x_i);
***定義 [#gf0d13ca]
総乗はΠ(パイ)で表す。やることは総和に同じだけれど、收束條件がきびしい。

**三角関数 [#x66925a5]
ラジアン等々~
量が多いので別ページにしました。こちら→[[三角関数]]

**線型代数学 [#ffbf03d0]
量が多いので別ページにしました。~
-[[ベクトル]]とか[[行列]]演算とか~
画像処理とか3Dの座標変換等々いろいろ使います。

**[[複素数]] [#h7fa6182]
量が多いので別ページにしました。こちら→[[複素数]]


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