数学 > 行列
行列はもともと数学的探究によりうまれた。ベクトル成分を縦横に拡張すればどうなるのだろうか、といって始まったのである。
横の並びを行、縱の並びを列と呼ぶ。すなはち行列である。重要なのは縱か横かでいえば横かと思われる。おのおのの成分には座標のようなものがあって、第i行の第j列にある成分を(i,j)成分と呼ぶ。
行ごとに左から右までの全ての成分をとりだして（第i行の）行ベクトル、列ごとに上から下までの全ての成分をとりだして（第j列の）列ベクトル、なんて呼ぶ事がある。
行列AとBがあり、このAとBの縱と横の成分の数が一致する場合を「AとBは同じ型である」と言い、その成分がおのおの全て一致する場合はその行列を「A=B；AとBは等しい」と判断できる。
各要素をそのまま足せばいいが、同じ型である必要がある。差分も同じ。型が違うと誰と足せばいいかわからなくなるでしょ？
&mimetex(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix});
難しく書くとこんな感じ
&mimetex(\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix});
&mimetex(C_{ij} = \sum_{k=1}^m a_{ik} b_{kj});
行列AとBがあり、AにBを掛ける時、「Aの行ベクトルとBの列ベクトルの積（内積の計算方法に同じ）」を新たな成分として行列に変換する作業です。内積の定義から、Aの行ベクトルとBの列ベクトルの成分の数は同じである必要があります。新たな成分とする場合は、「Aの第i行の行ベクトル」と「Bの第j列の列ベクトル」の積の場合に、(i,j)成分とするのが決まりです。
以上から、足し算同様に掛け算を行うには制限があることがわかります。すなはち行列AとBの場合は、Aの列の数（行ベクトルの数）とBの行の数（列ベクトル）が一致する必要があります。行だとか列だとかややこしいので、図面を書いて確かめるように。
式ではこれを「AB」と表しますが、別にBにAを掛けるとして「AB=BA」となるとは限りません。それは上述の掛け算の定義から、よくわかることだとおもいます。
かけていく順番がややこしいのでよく追って確認してください。
&mimetex(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix});
右側の行列を上にずらしてみるとわかりやすい
&mimetex(\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} );
&mimetex(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{pmatrix} );