ベクトル
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開始行:
[[数学]] > ベクトル
*概要 [#g6163d7e]
ベクトルは、向きと大きさを持った量のことです。~
物理や画像処理をはじめ、様々な分野で利用されています。
高校あたり？で習うので、すでに知っている方も多いでしょう...
2D,3D処理においては四則演算並に基本事項です。~
グラフィック処理の必要なゲームなどを作る場合、必須の知識...
*ベクトルの表現 [#s72af68f]
**ベクトル [#if18748f]
ベクトルは適当な名前の上に→を付けて&mimetex(\vec{a});など...
(他にも様々な表現があり、専門書などでは太字&mimetex(\math...
**数ベクトル [#f8c02d1e]
数ベクトルとは、数値を縦または横に並べた、行列の一種です。
#mimetex(\vec{a} = ( a \quad b \quad c));
のように横に並べたものを、行ベクトルまたは横ベクトル。
#mimetex(\vec{a} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatr...
のように縦に並べたものを、列ベクトルまたは縦ベクトルと呼...
CGの分野では行ベクトル、数学の分野では列ベクトルがよく使...
一応、CG系？ということで、ここでは行ベクトルを使用します...
**ベクトルの2点による表現 [#a7aa89bc]
ベクトルは2点間を結ぶ線分として表すことができます。
点P→点Qによって表される線分のベクトルを&mimetex(\vec{PQ});
と表現します。~
また、&mimetex(\vec{PQ});を数ベクトルで表現することができ...
2点の座標を、
#mimetex(P(p_1,p_2)\\ Q(q_1,q_2));
とすると、
#mimetex(\vec{PQ} = ( q_1-p_1 \quad q_2-p_2));
となります。
**ノルム [#ge5a8383]
ベクトルは方向を持つと同時に大きさ(長さ)も持ちます。ベク...
&mimetex(\vec{a});のノルムを&mimetex(\mid\mid \vec{a} \mi...
大体一般的には、実際の計算は二乗して足してルート！平面、...
&mimetex(\vec{a} = (1 \quad 2 \quad 3));だったら~
#mimetex(\mid\mid \vec{a} \mid\mid = \sqrt{1^2+2^2+3^2} =...
です。~
特にユークリッドノルムや2-ノルムと言います。(他に変なのも...
*ベクトルの演算 [#yc36aeea]
**要素 [#l4c74ec7]
ベクトルの実際の数値部一つ一つを要素といいます。~
(1 2 3)~
だったら~
1 と 2 と 3 はそれぞれ(1 2 3)の要素。~
(a_1 b_1)~
だったら~
a_1, b_1はそれぞれ(a_1 b_1)の要素です。~
**スカラー [#u00092e8]
ベクトルでない通常の数値をスカラーと呼びます。1とか2とか3...
ベクトルの一つ一つの要素はスカラーともいえますね。
**加減算 [#rd4a6edc]
ベクトル同士の演算です。~
単純に各要素を加算(減算)するだけです。~
&mimetex((a_1 \quad a_2 \quad a_3) + (b_1 \quad b_2 \quad...
&mimetex((a_1 \quad a_2 \quad a_3) - (b_1 \quad b_2 \quad...
**乗算除算 [#l28cec30]
乗除算はスカラーとベクトルの演算で、ベクトル同士を乗算除...
各要素にスカラーを乗算(除算)します。~
&mimetex(3(a_1 \quad a_2 \quad a_3) = (3a_1 \quad 3a_1 \q...
**内積 [#j0668103]
ベクトル同士の演算です。演算結果はスカラーとなります。
2つのベクトルのなす角を&mimetex(\theta);としたとき、
#mimetex(\vec{a}\cdot\vec{b} = \mid\mid a \mid\mid \mid\m...
という演算です。~
または、数ベクトルの要素を使って
#mimetex(\vec{a} = (a_1 \quad a_2 \quad a_3), \vec{b} = (...
とすると
#mimetex(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3);
で計算することができます。
***外積 [#x8d4724c]
ここは高校数学では扱わないので次の項目に進んで頂いても結...
テンソル積まで説明するのは面倒なので省略するとして、ここ...
内積は演算結果がスカラーであるが、外積はスカラーではない...
#mimetex(\vec{a} \times \vec{b} = a_1b_2 - a_2b_1 = |\vec...
θはベクトルの成す角。何となく内積と対になってるなあ程度の...
三次だと&mimetex(\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3-a_3b_2,...
これは単位ベクトルとの行列式になってるぞ！
ガウスの定理とかで電磁気学を勉強するなら必須！知らないや...
***面積への応用 [#ta51fb85]
二つのベクトルの成す角θのcosθがわかるので、sinθもまた判明...
#mimetex(S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - \v...
最後の式は三角函数で習う式。真ん中の式は外積の半分になっ...
***テンソル積やらベクトルの掛け算について [#va7b22be]
こういったベクトル同士の掛け算は、どの成分を掛け合わせる...
#mimetex(\vec{a} = (a_1,a_2,a_3) = a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e...
#mimetex(\vec{b} = (b_1,b_2,b_3) = b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e...
このeで表すベクトルの表記を「基本ベクトル」と謂います。内...
#mimetex(\vec{a} \^ \vec{b} = a_1b_1\vec{e_1} \^ \vec{e_1...
内積では直交するベクトルは幾ら掛けても0になりました。です...
#mimetex(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1\vec{e_1} \cdot \v...
外積ではすこし條件が異なります。平行なベクトルの積は0にな...
#mimetex(\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}\\\vec{e_2...
外積は物理で有名なモーメントの計算に利用できます。そんな...
#mimetex(\vec{a} \times \vec{b} = a_1b_1\vec{e_1} \times ...
長々と式を書いて何が云いたかったかといえば、ベクトルの積...
ちなみに二次ベクトルの外積の場合、次のような計算になるこ...
#mimetex(\vec{a} \times \vec{b} = a_1b_1\vec{e_1} \times ...
この場合の&mimetex(\vec{e_1} \times \vec{e_2});は、三次ベ...
*ベクトル方程式 [#o0f6fd98]
ベクトルで一番大事な分野であると私は思っている。ベクトル...
ベクトルは線分のように直線の向きで表す。であるならば、方...
**位置ベクトル [#s74693ee]
点Aの''座標''を''ベクトル成分''とした位置ベクトルをA(&mim...
***内分・外分点の位置ベクトル [#q459e2d8]
点Aと点BをA(&mimetex(\vec{a});)、B(&mimetex(\vec{b});)、...
**ベクトル方程式の表現 [#m09e5337]
表したい線分をy=ax+bとでもして、これの向いてる方向を''方...
すなはち、y=ax+b は &mimetex((x,y)=\vec{a} + t\vec{p});（...
線分に垂直な方向ベクトルを考えた場合、これを''法線ベクト...
終了行:
[[数学]] > ベクトル
*概要 [#g6163d7e]
ベクトルは、向きと大きさを持った量のことです。~
物理や画像処理をはじめ、様々な分野で利用されています。
高校あたり？で習うので、すでに知っている方も多いでしょう...
2D,3D処理においては四則演算並に基本事項です。~
グラフィック処理の必要なゲームなどを作る場合、必須の知識...
*ベクトルの表現 [#s72af68f]
**ベクトル [#if18748f]
ベクトルは適当な名前の上に→を付けて&mimetex(\vec{a});など...
(他にも様々な表現があり、専門書などでは太字&mimetex(\math...
**数ベクトル [#f8c02d1e]
数ベクトルとは、数値を縦または横に並べた、行列の一種です。
#mimetex(\vec{a} = ( a \quad b \quad c));
のように横に並べたものを、行ベクトルまたは横ベクトル。
#mimetex(\vec{a} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatr...
のように縦に並べたものを、列ベクトルまたは縦ベクトルと呼...
CGの分野では行ベクトル、数学の分野では列ベクトルがよく使...
一応、CG系？ということで、ここでは行ベクトルを使用します...
**ベクトルの2点による表現 [#a7aa89bc]
ベクトルは2点間を結ぶ線分として表すことができます。
点P→点Qによって表される線分のベクトルを&mimetex(\vec{PQ});
と表現します。~
また、&mimetex(\vec{PQ});を数ベクトルで表現することができ...
2点の座標を、
#mimetex(P(p_1,p_2)\\ Q(q_1,q_2));
とすると、
#mimetex(\vec{PQ} = ( q_1-p_1 \quad q_2-p_2));
となります。
**ノルム [#ge5a8383]
ベクトルは方向を持つと同時に大きさ(長さ)も持ちます。ベク...
&mimetex(\vec{a});のノルムを&mimetex(\mid\mid \vec{a} \mi...
大体一般的には、実際の計算は二乗して足してルート！平面、...
&mimetex(\vec{a} = (1 \quad 2 \quad 3));だったら~
#mimetex(\mid\mid \vec{a} \mid\mid = \sqrt{1^2+2^2+3^2} =...
です。~
特にユークリッドノルムや2-ノルムと言います。(他に変なのも...
*ベクトルの演算 [#yc36aeea]
**要素 [#l4c74ec7]
ベクトルの実際の数値部一つ一つを要素といいます。~
(1 2 3)~
だったら~
1 と 2 と 3 はそれぞれ(1 2 3)の要素。~
(a_1 b_1)~
だったら~
a_1, b_1はそれぞれ(a_1 b_1)の要素です。~
**スカラー [#u00092e8]
ベクトルでない通常の数値をスカラーと呼びます。1とか2とか3...
ベクトルの一つ一つの要素はスカラーともいえますね。
**加減算 [#rd4a6edc]
ベクトル同士の演算です。~
単純に各要素を加算(減算)するだけです。~
&mimetex((a_1 \quad a_2 \quad a_3) + (b_1 \quad b_2 \quad...
&mimetex((a_1 \quad a_2 \quad a_3) - (b_1 \quad b_2 \quad...
**乗算除算 [#l28cec30]
乗除算はスカラーとベクトルの演算で、ベクトル同士を乗算除...
各要素にスカラーを乗算(除算)します。~
&mimetex(3(a_1 \quad a_2 \quad a_3) = (3a_1 \quad 3a_1 \q...
**内積 [#j0668103]
ベクトル同士の演算です。演算結果はスカラーとなります。
2つのベクトルのなす角を&mimetex(\theta);としたとき、
#mimetex(\vec{a}\cdot\vec{b} = \mid\mid a \mid\mid \mid\m...
という演算です。~
または、数ベクトルの要素を使って
#mimetex(\vec{a} = (a_1 \quad a_2 \quad a_3), \vec{b} = (...
とすると
#mimetex(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3);
で計算することができます。
***外積 [#x8d4724c]
ここは高校数学では扱わないので次の項目に進んで頂いても結...
テンソル積まで説明するのは面倒なので省略するとして、ここ...
内積は演算結果がスカラーであるが、外積はスカラーではない...
#mimetex(\vec{a} \times \vec{b} = a_1b_2 - a_2b_1 = |\vec...
θはベクトルの成す角。何となく内積と対になってるなあ程度の...
三次だと&mimetex(\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3-a_3b_2,...
これは単位ベクトルとの行列式になってるぞ！
ガウスの定理とかで電磁気学を勉強するなら必須！知らないや...
***面積への応用 [#ta51fb85]
二つのベクトルの成す角θのcosθがわかるので、sinθもまた判明...
#mimetex(S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - \v...
最後の式は三角函数で習う式。真ん中の式は外積の半分になっ...
***テンソル積やらベクトルの掛け算について [#va7b22be]
こういったベクトル同士の掛け算は、どの成分を掛け合わせる...
#mimetex(\vec{a} = (a_1,a_2,a_3) = a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e...
#mimetex(\vec{b} = (b_1,b_2,b_3) = b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e...
このeで表すベクトルの表記を「基本ベクトル」と謂います。内...
#mimetex(\vec{a} \^ \vec{b} = a_1b_1\vec{e_1} \^ \vec{e_1...
内積では直交するベクトルは幾ら掛けても0になりました。です...
#mimetex(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1\vec{e_1} \cdot \v...
外積ではすこし條件が異なります。平行なベクトルの積は0にな...
#mimetex(\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}\\\vec{e_2...
外積は物理で有名なモーメントの計算に利用できます。そんな...
#mimetex(\vec{a} \times \vec{b} = a_1b_1\vec{e_1} \times ...
長々と式を書いて何が云いたかったかといえば、ベクトルの積...
ちなみに二次ベクトルの外積の場合、次のような計算になるこ...
#mimetex(\vec{a} \times \vec{b} = a_1b_1\vec{e_1} \times ...
この場合の&mimetex(\vec{e_1} \times \vec{e_2});は、三次ベ...
*ベクトル方程式 [#o0f6fd98]
ベクトルで一番大事な分野であると私は思っている。ベクトル...
ベクトルは線分のように直線の向きで表す。であるならば、方...
**位置ベクトル [#s74693ee]
点Aの''座標''を''ベクトル成分''とした位置ベクトルをA(&mim...
***内分・外分点の位置ベクトル [#q459e2d8]
点Aと点BをA(&mimetex(\vec{a});)、B(&mimetex(\vec{b});)、...
**ベクトル方程式の表現 [#m09e5337]
表したい線分をy=ax+bとでもして、これの向いてる方向を''方...
すなはち、y=ax+b は &mimetex((x,y)=\vec{a} + t\vec{p});（...
線分に垂直な方向ベクトルを考えた場合、これを''法線ベクト...
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