三角関数
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// 2009/01/25 数学ページから切り取り。過去のログはそちら...
//
//
[[数学]] > 三角関数
*三角関数 [#i6ecdda0]
これの別名を円函数と謂う。取り合えず定義からみるとよいで...
#contents
#br
*三角関数 [#ua52bfb9]
// 定義に於いては、「余」の字は一人稱のことであり、アマリ...
**定義 [#a84b9de2]
三角函数（円函数）には「正」と「餘（余）」があります。文...
このとき円を切断する割線を与え、それがx軸と成す角を「正角...
三角函数が江戸時代に蘭學と共に輸入された頃、「八線」と訳...
「正角」にまつわる長さでは、正弦と正接をまづは憶えましょ...
割線が単位円と交叉する点をPとすると、Pのy座標を「正弦」と...
「餘角」にまつわる長さでは、餘弦をまづは憶えましょう。こ...
Pのx座標が「餘弦」と呼ばれますが、正角接弦と本質は同じ定...
ところで餘角をφとおくとθ+φ=90°で直角です。cosθ=sinφとでき...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
ちなみに、勘のいい人はお気づきでしょうが、餘接も存在しま...
正割は、序盤に「円を切断する割線」と書きましたが、この割...
正矢（せいし）は、烏賊（ry栗の花（ry、「接弦」にかかる小...
かつて正割は三角函数の微積で使用してましたのでそれなりに...
http://blog.goo.ne.jp/shinya084/e/04616a1d8bc7e6d0ff3b7b9...
**グラフ [#l48a445d]
sin(サイン)とcos(コサイン)のグラフは以下の通りである。周...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
**sin（正弦関数） [#l0d7954b]
Sinは上の定義よりBC/ABです。覚え方はsの筆記体をなぞるよう...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
**cos (余弦関数) [#af4fd2df]
Cosは上の定義よりAC/ABです。覚え方はCを描くようにします。...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
**tan (正接関数) [#fb3b0ec6]
tanは上の定義よりAC/BCです。覚え方はtを筆記体で書くように...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
**値 [#tbf803bd]
三角関数は以下のような値をとる
|''角度''|''sin''|''cos''|''tan''|
|''0''|0 |1 |0 |
|''30°''|&mimetex(\frac{1}{2}); |&mimetex(\frac{\sqrt{3}}...
|''45°''|&mimetex(\frac{1}{\sqrt{2}});|&mimetex(\frac{1}{...
|''60°''|&mimetex(\frac{\sqrt{3}}{2});|&mimetex(\frac{1}{...
|''90°''|1 |0 |定義されない|
**定義に戻って考えてみる [#r1dce0b9]
この例では、&mimetex(sin{\frac{\pi}{4}});、&mimetex(cos{\...
ここで導出された値はあくまで比です。三角関数は、あくまで...
さて、定義によれば、三角関数は半径が1の単位円を考えた上で...
定義に掲載されている図を例にとって解説すると、&mimetex(si...
このように単位円を考えておけば、sinは高さ、cosは幅に対応...
これを利用すれば、ある平面に描かれた円の円周に沿って移動...
すなわち、このことをプログラムに応用すると、アナログ時計...
**参照 [#f6f7cb8d]
[[三角関数:Wikipedia:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%...
*ラジアン（孤度法） [#lf1b3dd8]
**定義 [#k3646014]
1ラジアン(radian)は半径と同じ長さ分の円周を持つ孤の角度で...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
**便利な表現 [#e4054795]
360度はラジアンを使って表すと、2πradと簡潔に表せます。同...
#mimetex(rad = 2\pi \times \frac{angle}{360});
**参照 [#zb0cbdef]
[[ラジアン:Wikipedia:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%...
*極座標 [#a3aa1d8b]
普通グラフになにか書くときは軸がX,Yで表されたもの（直交座...
極座標とはθと半径rを用いて表す座標のことで、円運動などを...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
*三角函数応用編 [#u8b8563a]
**三角函数の性質と相互関係 [#r54034da]
**正弦定理 [#bf04a60a]
**余弦定理（第一・第二余弦定理） [#od98b90d]
今の高校生はまるで習いませんが、第一余弦定理はとても便利...
#mimetex(a=b cos C + c cos B);
#mimetex(b=c cos A + a cos C);
#mimetex(c=a cos B + b cos A);
規則性があって実に憶えやすい。これを第一余弦定理と謂いま...
#mimetex(a^2=b^2 + c^2 - 2bc cos A);
#mimetex(b^2=c^2 + a^2 - 2ca cos B);
#mimetex(c^2=a^2 + b^2 - 2ab cos C);
いづれも三つ憶える必要はなく、どれか一つづつ憶えれば後は...
證明は、正弦定理から導けますし、幾何の問題としても導けま...
**正接定理 [#yea71ada]
高校では扱わない。数学者も知らない人は多分知らない、マイ...
#mimetex(\frac{a-b}{a+b}= \frac{tan\frac{A-B}{2}}{tan\fra...
下記ページ参考。
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/tgthm.html
**加法定理 [#d52bde27]
数Ⅱ三角函数の味噌。これを憶えれば後は自分で作れると言い張...
#mimetex(sin(\alpha\pm\beta)=sin\alpha cos\beta \pm cos\b...
#mimetex(cos(\alpha\pm\beta)=cos\alpha cos\beta \mp sin\a...
#mimetex(tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha \pm tan\beta...
この證明はいろんな方法があるけれど、幾何学的に示したペー...
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/...
**倍角公式 [#wb67eb2e]
**積和／和積の公式 [#q7d77bfc]
加法定理から導かれる公式なんだけど、古い文献には和積／積...
#mimetex(sin{\alpha} cos{\beta}=\frac{1}{2}\{sin(\alpha+\...
#mimetex(cos{\alpha} sin{\beta}=\frac{1}{2}\{sin(\alpha+\...
#mimetex(cos{\alpha} cos{\beta}=\frac{1}{2}\{cos(\alpha+\...
#mimetex(sin{\alpha} sin{\beta}=-\frac{1}{2}\{cos(\alpha+...
これを積和公式とか謂います（特に定つた名はない模様）。左...
#mimetex(\alpha=\frac{A+B}{2}, \beta=\frac{A-B}{2});
と置くと、和積公式が得られます。
#mimetex(sin{A}+sin{B}=2 sin{\frac{A+B}{2}} cos{\frac{A-B...
#mimetex(sin{A}-sin{B}=2 cos{\frac{A+B}{2}} sin{\frac{A-B...
#mimetex(cos{A}+cos{B}=2 cos{\frac{A+B}{2}} cos{\frac{A-B...
#mimetex(cos{A}-cos{B}=-2 sin{\frac{A+B}{2}} sin{\frac{A-...
ちなみにこれを幾何学の問題として證明することは可能だそう...
ところでこれを憶えるための語呂合せが色々あって、「チン（s...
**三角函数の合成 [#r679e28b]
**極限（附録） [#u9923e46]
#mimetex(\lim_{\theta \to 0 } \frac{sin\theta}{\theta} = ...
数Ⅲで登場する極限。高校レベルで多分これを除いて憶えるべき...
フーリエを勉強すると、音楽であそべるぞ！楽しいから勉強し...
終了行:
// 2009/01/25 数学ページから切り取り。過去のログはそちら...
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[[数学]] > 三角関数
*三角関数 [#i6ecdda0]
これの別名を円函数と謂う。取り合えず定義からみるとよいで...
#contents
#br
*三角関数 [#ua52bfb9]
// 定義に於いては、「余」の字は一人稱のことであり、アマリ...
**定義 [#a84b9de2]
三角函数（円函数）には「正」と「餘（余）」があります。文...
このとき円を切断する割線を与え、それがx軸と成す角を「正角...
三角函数が江戸時代に蘭學と共に輸入された頃、「八線」と訳...
「正角」にまつわる長さでは、正弦と正接をまづは憶えましょ...
割線が単位円と交叉する点をPとすると、Pのy座標を「正弦」と...
「餘角」にまつわる長さでは、餘弦をまづは憶えましょう。こ...
Pのx座標が「餘弦」と呼ばれますが、正角接弦と本質は同じ定...
ところで餘角をφとおくとθ+φ=90°で直角です。cosθ=sinφとでき...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
ちなみに、勘のいい人はお気づきでしょうが、餘接も存在しま...
正割は、序盤に「円を切断する割線」と書きましたが、この割...
正矢（せいし）は、烏賊（ry栗の花（ry、「接弦」にかかる小...
かつて正割は三角函数の微積で使用してましたのでそれなりに...
http://blog.goo.ne.jp/shinya084/e/04616a1d8bc7e6d0ff3b7b9...
**グラフ [#l48a445d]
sin(サイン)とcos(コサイン)のグラフは以下の通りである。周...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
**sin（正弦関数） [#l0d7954b]
Sinは上の定義よりBC/ABです。覚え方はsの筆記体をなぞるよう...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
**cos (余弦関数) [#af4fd2df]
Cosは上の定義よりAC/ABです。覚え方はCを描くようにします。...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
**tan (正接関数) [#fb3b0ec6]
tanは上の定義よりAC/BCです。覚え方はtを筆記体で書くように...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
**値 [#tbf803bd]
三角関数は以下のような値をとる
|''角度''|''sin''|''cos''|''tan''|
|''0''|0 |1 |0 |
|''30°''|&mimetex(\frac{1}{2}); |&mimetex(\frac{\sqrt{3}}...
|''45°''|&mimetex(\frac{1}{\sqrt{2}});|&mimetex(\frac{1}{...
|''60°''|&mimetex(\frac{\sqrt{3}}{2});|&mimetex(\frac{1}{...
|''90°''|1 |0 |定義されない|
**定義に戻って考えてみる [#r1dce0b9]
この例では、&mimetex(sin{\frac{\pi}{4}});、&mimetex(cos{\...
ここで導出された値はあくまで比です。三角関数は、あくまで...
さて、定義によれば、三角関数は半径が1の単位円を考えた上で...
定義に掲載されている図を例にとって解説すると、&mimetex(si...
このように単位円を考えておけば、sinは高さ、cosは幅に対応...
これを利用すれば、ある平面に描かれた円の円周に沿って移動...
すなわち、このことをプログラムに応用すると、アナログ時計...
**参照 [#f6f7cb8d]
[[三角関数:Wikipedia:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%...
*ラジアン（孤度法） [#lf1b3dd8]
**定義 [#k3646014]
1ラジアン(radian)は半径と同じ長さ分の円周を持つ孤の角度で...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
**便利な表現 [#e4054795]
360度はラジアンを使って表すと、2πradと簡潔に表せます。同...
#mimetex(rad = 2\pi \times \frac{angle}{360});
**参照 [#zb0cbdef]
[[ラジアン:Wikipedia:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%...
*極座標 [#a3aa1d8b]
普通グラフになにか書くときは軸がX,Yで表されたもの（直交座...
極座標とはθと半径rを用いて表す座標のことで、円運動などを...
#ref(http://wiki.fdiary.net/vipprog/?c=plugin;plugin=atta...
*三角函数応用編 [#u8b8563a]
**三角函数の性質と相互関係 [#r54034da]
**正弦定理 [#bf04a60a]
**余弦定理（第一・第二余弦定理） [#od98b90d]
今の高校生はまるで習いませんが、第一余弦定理はとても便利...
#mimetex(a=b cos C + c cos B);
#mimetex(b=c cos A + a cos C);
#mimetex(c=a cos B + b cos A);
規則性があって実に憶えやすい。これを第一余弦定理と謂いま...
#mimetex(a^2=b^2 + c^2 - 2bc cos A);
#mimetex(b^2=c^2 + a^2 - 2ca cos B);
#mimetex(c^2=a^2 + b^2 - 2ab cos C);
いづれも三つ憶える必要はなく、どれか一つづつ憶えれば後は...
證明は、正弦定理から導けますし、幾何の問題としても導けま...
**正接定理 [#yea71ada]
高校では扱わない。数学者も知らない人は多分知らない、マイ...
#mimetex(\frac{a-b}{a+b}= \frac{tan\frac{A-B}{2}}{tan\fra...
下記ページ参考。
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/tgthm.html
**加法定理 [#d52bde27]
数Ⅱ三角函数の味噌。これを憶えれば後は自分で作れると言い張...
#mimetex(sin(\alpha\pm\beta)=sin\alpha cos\beta \pm cos\b...
#mimetex(cos(\alpha\pm\beta)=cos\alpha cos\beta \mp sin\a...
#mimetex(tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha \pm tan\beta...
この證明はいろんな方法があるけれど、幾何学的に示したペー...
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/...
**倍角公式 [#wb67eb2e]
**積和／和積の公式 [#q7d77bfc]
加法定理から導かれる公式なんだけど、古い文献には和積／積...
#mimetex(sin{\alpha} cos{\beta}=\frac{1}{2}\{sin(\alpha+\...
#mimetex(cos{\alpha} sin{\beta}=\frac{1}{2}\{sin(\alpha+\...
#mimetex(cos{\alpha} cos{\beta}=\frac{1}{2}\{cos(\alpha+\...
#mimetex(sin{\alpha} sin{\beta}=-\frac{1}{2}\{cos(\alpha+...
これを積和公式とか謂います（特に定つた名はない模様）。左...
#mimetex(\alpha=\frac{A+B}{2}, \beta=\frac{A-B}{2});
と置くと、和積公式が得られます。
#mimetex(sin{A}+sin{B}=2 sin{\frac{A+B}{2}} cos{\frac{A-B...
#mimetex(sin{A}-sin{B}=2 cos{\frac{A+B}{2}} sin{\frac{A-B...
#mimetex(cos{A}+cos{B}=2 cos{\frac{A+B}{2}} cos{\frac{A-B...
#mimetex(cos{A}-cos{B}=-2 sin{\frac{A+B}{2}} sin{\frac{A-...
ちなみにこれを幾何学の問題として證明することは可能だそう...
ところでこれを憶えるための語呂合せが色々あって、「チン（s...
**三角函数の合成 [#r679e28b]
**極限（附録） [#u9923e46]
#mimetex(\lim_{\theta \to 0 } \frac{sin\theta}{\theta} = ...
数Ⅲで登場する極限。高校レベルで多分これを除いて憶えるべき...
フーリエを勉強すると、音楽であそべるぞ！楽しいから勉強し...
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