行列
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// 2009/01/25 数学から切り取り。過去のログはそちらに。
[[数学]] > 行列
*行列 [#m3eac589]
行列はもともと数学的探究によりうまれた。ベクトル成分を縦...
#contents
#br
**概念 [#ee1b6841]
横の並びを''行''、縱の並びを''列''と呼ぶ。すなはち''行列'...
行ごとに左から右までの全ての成分をとりだして（第i行の）行...
行列AとBがあり、このAとBの縱と横の成分の数が一致する場合...
**足し算 [#maf0766b]
各要素をそのまま足せばいいが、''同じ型''である必要がある...
&mimetex(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \...
難しく書くとこんな感じ
&mimetex(\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmat...
**掛け算 [#f35f52e9]
***定義 [#e4e0a964]
&mimetex(C = (c_{ij}) = (\sum_{k=1}^m a_{ik} b_{kj}));
行列AとBがあり、''AにBを掛ける''時、「Aの行ベクトルとBの...
以上から、足し算同様に掛け算を行うには制限があることがわ...
式ではこれを「AB」と表しますが、別に''BにAを掛ける''とし...
***例 [#u48762d4]
かけていく順番がややこしいのでよく追って確認してください。
&mimetex(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \be...
右側の行列を上にずらしてみるとわかりやすい
&mimetex(\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7...
&mimetex(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} ...
**正方行列 [#edd372de]
正方とは、正（まさ）しく「方形」であること、つまり「正方...
**単位行列と零行列 [#q1e69a3c]
単位行列とは、(n,n)成分が全て1となり、其れ以外が0であるも...
&mimetex(E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix});
二次の正方行列Aを考えてみると、乗法は「交換可能」であるこ...
零行列とは全ての行列成分が0であるものをいう。二次の正方な...
**逆行列 [#oa090bab]
逆行列とは次の條件を満たす行列Bのことを謂う。
&mimetex(AB = BA = E);
Aの逆行列は&mimetex(B = A^{-1});と表す。これはAの逆変換に...
&mimetex(\det(A) \ne 0); ならば &mimetex(A^{-1}=\frac{\ti...
行列式が 0 であるときは逆行列は存在しない。逆行列の存在は...
&mimetex(A\tilde{A}=\tilde{A}A=\det(A) E);
なお E は A と同じ次数を持つ単位行列である。譬えば逆行列...
とりわけ二次の正方行列に於いては、次の條件で求めることが...
&mimetex(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}...
***逆行列の利用 [#hc42bb44]
だいたい逆函数だとか逆向きの計算は、正方向の計算が実に面...
&mimetex(A^{-1}A = E); であるから、&mimetex(A^{-1}AX = EX...
**対角行列 [#odb4847f]
単位行列は対角行列の特殊な例である。対角行列とは対角成分...
二次の対角行列Cを考えてみると、
&mimetex(C = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end...
という冪乗に有利な性質を持っている。これは二次以上でも成...
*線型代数学と行列 [#g7f73a8e]
行列が線型代数学へと発展するなかで得られた成果は、高等教...
**序論 [#l92948a2]
行列とはベクトルのあつまりであるとは、前に述べた。もしそ...
座標P(x,y)とQ(x',y')が、&mimetex(x' = ax + by);、&mimetex...
&mimetex(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix});
&mimetex(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{...
この時PとQは線形性を持つといい、PはQの線形写像であると看...
線型代数学ではこれを拡大して「線型空間」を考える。すなは...
***数学C（行列）との対応 [#vf6b3ef0]
手元の数学Cの教科書（数研出版）を見てみると、次の内容を扱...
+行列式 Δ = ad - bc
+ケーリー・ハミルトンの定理
+対角行列と固有値の算出
+対角化による行列の冪乗算出
+逆行列
+連立方程式と行列
+一次変換（合成変換、逆変換、廻転、対称移動を含む）
+原点を通る直線に線対称な変換
とくに「小行列式」から「クラメルの公式」にかけては、数学C...
**連立方程式と行列 [#s2f71ea2]
「聯立斉一次方程式」の解の関係を研究すると生まれたのが Cr...
***係数行列 [#fe719855]
「斉一次方程式」、つまり ax + by + cz のような一次の変数...
**行列式（determinant） [#l91714d1]
線型代数学では行列の性質を理解してゆく中で、「行列式」を...
二次の正方行列Aでは次のように計算できる。
&mimetex(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}...
**ケーリー・ハミルトンの定理 [#g60225ef]
ハミルトン・ケーリーの定理とも呼ぶ。これは功労者ケーリー...
n次の正方行列Aとn次の正方単位行列Eは次の式をみたすとき、...
&mimetex(f(x) = \det(xE - A)); のとき &mimetex(f(A) = 0);
特にn=2のときは、
&mimetex(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix});
&mimetex(xE - A = \begin{pmatrix} x-a & -b \\ -c & x-d \e...
&mimetex(f(x) = x^2 - (a+d)x + \det(A)E); が &mimetex(f(A...
従って、数学Cでは &mimetex(0 = A^2 - (a+d)A + \det(A)E); ...
**小行列式 [#m499ea92]
小行列式とは行列を正規化する作業である。小行列式とは行列...
**余因子（cofactor） [#g429c30d]
行列Aの(i,j)成分の余因子を次の様に定義する。一般に成分は...
&mimetex(A_{ij} = (-1)^{i+j} \det(B_{ij}));
この行列B[ij] は 行列Aの第i行及び第j列を全て除いた行列で...
&mimetex(A_{ij} = (-1)^{i+j} \begin{vmatrix} a_{11} &\cdo...
余因子とは、&mimetex(a_{ij});成分に対する余因子&mimetex(A...
**余因子展開と行列式 [#n52cdbfe]
n次の正方行列Aは、各々の行と列に於いて、次の展開が可能で...
&mimetex(\det(A) = \sum_{k=1}^n A_{kj}a_{kj} = \sum_{k=1}...
この展開を余因子展開と謂い、行列式はこのように計算がなさ...
**行列式の算出 [#ldea76a7]
行列式は二次・三次程度なら公式も有利だが、それ以上となる...
二次の正方行列Aの小行列式では、余因子が各々 &mimetex(A_{1...
では三次の正方行列Aの場合を考えよう。この小行列式を展開し...
&mimetex(A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f\\ g &...
と定義から求まるので、これを用いて第1行に関して余因子展開...
&mimetex(\det(A) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f...
三次の正方行列で小行列式を計算していたはずなのに、いつの...
なお行列式がこのようにして求められていることは、何だか不...
**余因子行列 [#yb6f2d51]
行列Aの余因子行列&mimetex(\tilde{A});は、行列Aの余因子を...
この余因子行列を求める事で、逆にその性質から、余因子展開...
**逆行列の算出 [#d7bf6a62]
&mimetex(A\tilde{A}=\tilde{A}A=\det(A) E);
A を n次正方行列、E を n次の単位行列とすると、余因子行列...
漠然とではあるが・・・行列の積は行ベクトル及び列ベクトル...
ここで改めて逆行列を考えてみると、次のようにできるとわか...
&mimetex(\det(A) \ne 0); ならば &mimetex(A^{-1}=\frac{\ti...
行列式が 0 であるときは逆行列は存在しないのである。
**クラメルの公式と係数行列 [#ue174632]
クラメルの公式はこれら行列の性質から連立方程式の解を求め...
&mimetex(\sum_{k=1}^j a_{ik}x_{k} = b_{i},\ 1 \le i \le ...
のように、係数 a の群と b の群、変数 x の群で表されるとし...
&mimetex(AX = B); ただし、&mimetex(A =(a_{mn}),\ X = (x_...
変数の行列Xがだた一つ解を持つには係数行列の逆行列が存在し...
&mimetex(x_{j} = \frac{1}{\det(A)} \sum_{k=1}^m A_{kj}b_{...
とできる。これをクラメルの公式と謂う。この公式の最右辺の...
というわけで連立方程式の解は求まるが、これら計算の結果か...
***連立方程式の解の算出 [#sd59a011]
&mimetex(\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + z = 5 \\...
この x をクラメルの公式で求めてみよう。係数行列A、列ベク...
&mimetex(AX = B,\ A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1...
係数行列Aの行列式は &mimetex(\det(A) = -3 \ne 0); なので...
&mimetex(x = x_{1} = \frac{1}{\det(A)} \sum_{k=1}^3 A_{k1...
と求められる。やたら滅多に面倒だけれど、y と z とを求めず...
&mimetex(y = \frac{1}{-3}\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 ...
実際に代入して確かめてみると、この解が正しいことがわかる。
**対角化 [#y181d6ba]
**固有値の性質 [#m7456125]
**行列の冪乗 [#s53e8bce]
**一次変換 [#m34df7e6]
序論で実は既に示されている。
**廻転 [#sa9c9df3]
デカルト座標は極座標に展開することが可能である。そうすれ...
*線型代数学 [#n32d08cd]
若し書くのであるとすればどういう構成にしましょうか？ 線...
では、実際に記述するとすれば、譬えば以下の如く。
+線型な演算についてのこと、内積
+行列式とその応用
+線型空間とその応用
+線型写像
+固有空間とその応用
+標準化の一般論
+特別な行列の標準化
+Jordan 標準形
+二次形式
さて、正確さを求めれば抽象的になる上に、詳しくなりすぎる...
*補稿 [#l3cf239e]
順番に読む必要はありません。面白そうだと思うところだけで...
**指数函数 [#v55a3525]
#mimetex(e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!});
指数函数が上式のように展開できることは、解析学により知ら...
#mimetex(\exp A = E + A + \frac{A^2}{2} + \cdots);
これは場合によって十分に収斂するであろうことが予想され、...
**複素数・四元数 [#fdd6873d]
#mimetex(A = aE + bJ,\ J^2 = -E);
A、E、J は二次正方行列ですが、E は単位行列で、一方 J は特...
詳しくは「複素数の行列表現」とでも探していただきたい。同...
さて、このように行列を代数と看做し、一般的な実数と同じ性...
**行列式の定義 [#p09081db]
一往参考までに行列式の定義を紹介しておきます。
#mimetex(\det(x_{ij}) = \sum_{\sigma} \epsilon(\sigma) x_...
n 次の正方行列 X = (xij) の行列式は、以上の様に定義されま...
置換 σ が n 文字の置換全体を動くとき、上式における総和で...
とまあこういう定義がなされるわけですが、理学部の人以外は...
・・・説明するには、先んじて面倒な置換の話をする必要があ...
註：置換は、積を与えることができます。i を k に写す置換に...
**余因子の定義 [#qc275c8b]
余因子展開は正しいのですが、蓋然性が理解できないと思いま...
#mimetex(\det(x_{ij}) = c_{1}x_{11} + c_{2}x_{12} + \cdot...
行列式の定義によれば、&mimetex(x_{1{i_1}}); が必ず含まれ...
では c1 等はどのように表されるのでしょうか。結論から謂う...
**行列式と線形空間 [#ve17f213]
終了行:
// 2009/01/25 数学から切り取り。過去のログはそちらに。
[[数学]] > 行列
*行列 [#m3eac589]
行列はもともと数学的探究によりうまれた。ベクトル成分を縦...
#contents
#br
**概念 [#ee1b6841]
横の並びを''行''、縱の並びを''列''と呼ぶ。すなはち''行列'...
行ごとに左から右までの全ての成分をとりだして（第i行の）行...
行列AとBがあり、このAとBの縱と横の成分の数が一致する場合...
**足し算 [#maf0766b]
各要素をそのまま足せばいいが、''同じ型''である必要がある...
&mimetex(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \...
難しく書くとこんな感じ
&mimetex(\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmat...
**掛け算 [#f35f52e9]
***定義 [#e4e0a964]
&mimetex(C = (c_{ij}) = (\sum_{k=1}^m a_{ik} b_{kj}));
行列AとBがあり、''AにBを掛ける''時、「Aの行ベクトルとBの...
以上から、足し算同様に掛け算を行うには制限があることがわ...
式ではこれを「AB」と表しますが、別に''BにAを掛ける''とし...
***例 [#u48762d4]
かけていく順番がややこしいのでよく追って確認してください。
&mimetex(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \be...
右側の行列を上にずらしてみるとわかりやすい
&mimetex(\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7...
&mimetex(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} ...
**正方行列 [#edd372de]
正方とは、正（まさ）しく「方形」であること、つまり「正方...
**単位行列と零行列 [#q1e69a3c]
単位行列とは、(n,n)成分が全て1となり、其れ以外が0であるも...
&mimetex(E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix});
二次の正方行列Aを考えてみると、乗法は「交換可能」であるこ...
零行列とは全ての行列成分が0であるものをいう。二次の正方な...
**逆行列 [#oa090bab]
逆行列とは次の條件を満たす行列Bのことを謂う。
&mimetex(AB = BA = E);
Aの逆行列は&mimetex(B = A^{-1});と表す。これはAの逆変換に...
&mimetex(\det(A) \ne 0); ならば &mimetex(A^{-1}=\frac{\ti...
行列式が 0 であるときは逆行列は存在しない。逆行列の存在は...
&mimetex(A\tilde{A}=\tilde{A}A=\det(A) E);
なお E は A と同じ次数を持つ単位行列である。譬えば逆行列...
とりわけ二次の正方行列に於いては、次の條件で求めることが...
&mimetex(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}...
***逆行列の利用 [#hc42bb44]
だいたい逆函数だとか逆向きの計算は、正方向の計算が実に面...
&mimetex(A^{-1}A = E); であるから、&mimetex(A^{-1}AX = EX...
**対角行列 [#odb4847f]
単位行列は対角行列の特殊な例である。対角行列とは対角成分...
二次の対角行列Cを考えてみると、
&mimetex(C = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end...
という冪乗に有利な性質を持っている。これは二次以上でも成...
*線型代数学と行列 [#g7f73a8e]
行列が線型代数学へと発展するなかで得られた成果は、高等教...
**序論 [#l92948a2]
行列とはベクトルのあつまりであるとは、前に述べた。もしそ...
座標P(x,y)とQ(x',y')が、&mimetex(x' = ax + by);、&mimetex...
&mimetex(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix});
&mimetex(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{...
この時PとQは線形性を持つといい、PはQの線形写像であると看...
線型代数学ではこれを拡大して「線型空間」を考える。すなは...
***数学C（行列）との対応 [#vf6b3ef0]
手元の数学Cの教科書（数研出版）を見てみると、次の内容を扱...
+行列式 Δ = ad - bc
+ケーリー・ハミルトンの定理
+対角行列と固有値の算出
+対角化による行列の冪乗算出
+逆行列
+連立方程式と行列
+一次変換（合成変換、逆変換、廻転、対称移動を含む）
+原点を通る直線に線対称な変換
とくに「小行列式」から「クラメルの公式」にかけては、数学C...
**連立方程式と行列 [#s2f71ea2]
「聯立斉一次方程式」の解の関係を研究すると生まれたのが Cr...
***係数行列 [#fe719855]
「斉一次方程式」、つまり ax + by + cz のような一次の変数...
**行列式（determinant） [#l91714d1]
線型代数学では行列の性質を理解してゆく中で、「行列式」を...
二次の正方行列Aでは次のように計算できる。
&mimetex(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}...
**ケーリー・ハミルトンの定理 [#g60225ef]
ハミルトン・ケーリーの定理とも呼ぶ。これは功労者ケーリー...
n次の正方行列Aとn次の正方単位行列Eは次の式をみたすとき、...
&mimetex(f(x) = \det(xE - A)); のとき &mimetex(f(A) = 0);
特にn=2のときは、
&mimetex(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix});
&mimetex(xE - A = \begin{pmatrix} x-a & -b \\ -c & x-d \e...
&mimetex(f(x) = x^2 - (a+d)x + \det(A)E); が &mimetex(f(A...
従って、数学Cでは &mimetex(0 = A^2 - (a+d)A + \det(A)E); ...
**小行列式 [#m499ea92]
小行列式とは行列を正規化する作業である。小行列式とは行列...
**余因子（cofactor） [#g429c30d]
行列Aの(i,j)成分の余因子を次の様に定義する。一般に成分は...
&mimetex(A_{ij} = (-1)^{i+j} \det(B_{ij}));
この行列B[ij] は 行列Aの第i行及び第j列を全て除いた行列で...
&mimetex(A_{ij} = (-1)^{i+j} \begin{vmatrix} a_{11} &\cdo...
余因子とは、&mimetex(a_{ij});成分に対する余因子&mimetex(A...
**余因子展開と行列式 [#n52cdbfe]
n次の正方行列Aは、各々の行と列に於いて、次の展開が可能で...
&mimetex(\det(A) = \sum_{k=1}^n A_{kj}a_{kj} = \sum_{k=1}...
この展開を余因子展開と謂い、行列式はこのように計算がなさ...
**行列式の算出 [#ldea76a7]
行列式は二次・三次程度なら公式も有利だが、それ以上となる...
二次の正方行列Aの小行列式では、余因子が各々 &mimetex(A_{1...
では三次の正方行列Aの場合を考えよう。この小行列式を展開し...
&mimetex(A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f\\ g &...
と定義から求まるので、これを用いて第1行に関して余因子展開...
&mimetex(\det(A) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f...
三次の正方行列で小行列式を計算していたはずなのに、いつの...
なお行列式がこのようにして求められていることは、何だか不...
**余因子行列 [#yb6f2d51]
行列Aの余因子行列&mimetex(\tilde{A});は、行列Aの余因子を...
この余因子行列を求める事で、逆にその性質から、余因子展開...
**逆行列の算出 [#d7bf6a62]
&mimetex(A\tilde{A}=\tilde{A}A=\det(A) E);
A を n次正方行列、E を n次の単位行列とすると、余因子行列...
漠然とではあるが・・・行列の積は行ベクトル及び列ベクトル...
ここで改めて逆行列を考えてみると、次のようにできるとわか...
&mimetex(\det(A) \ne 0); ならば &mimetex(A^{-1}=\frac{\ti...
行列式が 0 であるときは逆行列は存在しないのである。
**クラメルの公式と係数行列 [#ue174632]
クラメルの公式はこれら行列の性質から連立方程式の解を求め...
&mimetex(\sum_{k=1}^j a_{ik}x_{k} = b_{i},\ 1 \le i \le ...
のように、係数 a の群と b の群、変数 x の群で表されるとし...
&mimetex(AX = B); ただし、&mimetex(A =(a_{mn}),\ X = (x_...
変数の行列Xがだた一つ解を持つには係数行列の逆行列が存在し...
&mimetex(x_{j} = \frac{1}{\det(A)} \sum_{k=1}^m A_{kj}b_{...
とできる。これをクラメルの公式と謂う。この公式の最右辺の...
というわけで連立方程式の解は求まるが、これら計算の結果か...
***連立方程式の解の算出 [#sd59a011]
&mimetex(\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + z = 5 \\...
この x をクラメルの公式で求めてみよう。係数行列A、列ベク...
&mimetex(AX = B,\ A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1...
係数行列Aの行列式は &mimetex(\det(A) = -3 \ne 0); なので...
&mimetex(x = x_{1} = \frac{1}{\det(A)} \sum_{k=1}^3 A_{k1...
と求められる。やたら滅多に面倒だけれど、y と z とを求めず...
&mimetex(y = \frac{1}{-3}\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 ...
実際に代入して確かめてみると、この解が正しいことがわかる。
**対角化 [#y181d6ba]
**固有値の性質 [#m7456125]
**行列の冪乗 [#s53e8bce]
**一次変換 [#m34df7e6]
序論で実は既に示されている。
**廻転 [#sa9c9df3]
デカルト座標は極座標に展開することが可能である。そうすれ...
*線型代数学 [#n32d08cd]
若し書くのであるとすればどういう構成にしましょうか？ 線...
では、実際に記述するとすれば、譬えば以下の如く。
+線型な演算についてのこと、内積
+行列式とその応用
+線型空間とその応用
+線型写像
+固有空間とその応用
+標準化の一般論
+特別な行列の標準化
+Jordan 標準形
+二次形式
さて、正確さを求めれば抽象的になる上に、詳しくなりすぎる...
*補稿 [#l3cf239e]
順番に読む必要はありません。面白そうだと思うところだけで...
**指数函数 [#v55a3525]
#mimetex(e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!});
指数函数が上式のように展開できることは、解析学により知ら...
#mimetex(\exp A = E + A + \frac{A^2}{2} + \cdots);
これは場合によって十分に収斂するであろうことが予想され、...
**複素数・四元数 [#fdd6873d]
#mimetex(A = aE + bJ,\ J^2 = -E);
A、E、J は二次正方行列ですが、E は単位行列で、一方 J は特...
詳しくは「複素数の行列表現」とでも探していただきたい。同...
さて、このように行列を代数と看做し、一般的な実数と同じ性...
**行列式の定義 [#p09081db]
一往参考までに行列式の定義を紹介しておきます。
#mimetex(\det(x_{ij}) = \sum_{\sigma} \epsilon(\sigma) x_...
n 次の正方行列 X = (xij) の行列式は、以上の様に定義されま...
置換 σ が n 文字の置換全体を動くとき、上式における総和で...
とまあこういう定義がなされるわけですが、理学部の人以外は...
・・・説明するには、先んじて面倒な置換の話をする必要があ...
註：置換は、積を与えることができます。i を k に写す置換に...
**余因子の定義 [#qc275c8b]
余因子展開は正しいのですが、蓋然性が理解できないと思いま...
#mimetex(\det(x_{ij}) = c_{1}x_{11} + c_{2}x_{12} + \cdot...
行列式の定義によれば、&mimetex(x_{1{i_1}}); が必ず含まれ...
では c1 等はどのように表されるのでしょうか。結論から謂う...
**行列式と線形空間 [#ve17f213]
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