複素数
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[[数学]] > 複素数
*複素数 [#w73affdd]
#contents
#br
フーリエ変換や図形の回転を語る上で複素数を欠かすことはで...
画像がうｐできないので自分で複素数平面を書きましょう。~
それから、ここの内容は高等教育での数IA IIB程度は理解でき...
**複素数の意義 [#r42aa9b1]
複素数はその本質をベクトルと同じくする。異なる点は、複素...
虚数単位の前に実数単位を考えてみよう。実数単位を n とする...
更に数を分析してゆくと、数単位は 2 の冪数だけ与えることが...
ただこう考えてみると、ベクトルより制限事項は多い。しかし...
**虚数単位 [#k5b622cf]
実数の世界においては負の数の平方根というのはありません。~
そこで-1の平方根（&mimetex(\sqrt{-1});）をi（電気系の人は...
複素数は実数と虚数単位iの実数倍の和で表されます。特に実数...
-複素数=実数部+虚数部
-複素数の実数部が0→純虚数
-複素数の虚数部が0→実数
-複素数の虚数部が0でない→虚数
英語では実数部をReal part, 虚数部をImaginary partと呼びま...
また複素数を一般的に&mimetex(a+bi);と書きます。この場合
-a←実数部
-bi←虚数部
-a=0 → biのみ → 純虚数
-b=0 → aのみ → 実数
それから共軛（共役）複素数てのがあり、「軛（くびき）を共...
何故これをこう呼ぶかといえば、複素数の単純な足し算掛け算...
それから、1の3乗根、x^3-1=0の解を思いだして欲しい。これは...
-&mimetex(\omega^3=1);
-&mimetex((\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0);
-&mimetex(\omega= 1, \frac{-1\pm\sqrt{3}\mathit{i}}{2});
**複素数の四則演算 [#vf41e242]
加算減算は実数同士虚数同士で行います。
#mimetex(\left( a+b\mathit{i} \right) + \left( c+d\mathit...
#mimetex(\left( a+b\mathit{i} \right) - \left( c+d\mathit...
掛算は普通に展開しましょう。iの2乗は-1ということを忘れな...
#mimetex(\left( a+b\mathit{i} \right)\left( c+d\mathit{i}...
乗除算が複雑に見えるかもしれませんが、要はiの2乗は-1とい...
#mimetex(\frac{ a+b\mathit{i} }{ c+d\mathit{i} } = \frac{...
**複素数に大小の概念は無い [#wf389d90]
唐突ですが複素数は大小が語れません！~
-1より0が大きく、0よりπが大きい、πより22/7が大きく・...
ところが虚数は実数軸上には存在しません~
ですから、1+2i と 3+4i を比べてどちらが大きいか？なんて語...
*複素数平面 [#sabff51f]
では実数を実数軸上に載せるように複素数を表現したいとした...
答えは簡単、軸をもう1つ用意してやればいいのです
横軸を実数軸、縦軸を虚数軸と呼びます。Re, Imと表記するこ...
実はこの複素数平面こそが複素数の最も強い部分であり、複素...
むしろ複素数平面のために複素数が生まれたんじゃないだろか...
**座標平面とはそもそも何ぞや [#se506a80]
普段我々がつかう座標平面にはそれぞれ名前があり、平成二一...
「座標」とは coordinate の訳で、日本語ではこれを「服装を...
「数直線」を中学の数学か初等教育でならうけど、数直線は座...
「座標平面」とは様々な位置が連続してる場所だ。「数直線」...
ベクトルや方程式では、ある変数を与えれば全てを表すことが...
数直線には一つの直線を与えた。「座標平面」では二つの直線...
二つの直線と言ったけれど、実際には二つの要素であり、喩え...
***デカルト座標（直交座標系） [#a9869e52]
フランスの偉大な数学者（哲学者）ルネ・デカルトにより、163...
要するにxy平面のこと。複素数平面はこれを応用した物なんだ...
座標軸がくぎる平面を、事象と呼び、xy平面では次の通り。
-第一事象（右上：xy共に正）
-第二事象（左上：xは負yは正）
-第三事象（右下：xy共に負）
-第四事象（左下：xは正yは負）
この数字には意味があって、極座標系での「角度」が0から2πへ...
***極座標系 [#z61e0956]
ここでは純粹に「圓座標」のみを扱う。圓座標をやれば、デカ...
空間の話をしたので、少し根本的なことを書く。これらの座標...
要するに今は立体（更に厳密には曲面）を無視しろということ。
さて極座標系の「圓座標」では偏角（角度）と動径（長さ）を...
圓座標では、デカルト座標への変換ができるんだ（例外もある...
-圓座標：(r,θ)
-デカルト座標：(x,y)
-條件（座標系は以下を充たす実数のとき変換できる）~
&mimetex({x \choose y} = \sqrt{x^2+y^2}{\cos\theta_{x, y}...
-変換~
&mimetex({x \choose y} = {r\cos\theta \choose r\sin\theta...
この式をみて、三角函数の公式が證明できると気付いた君はえ...
複素数では、次の応用で極座標とします。
-デカルト座標：(x,yi)
-圓座標：(r,θ)
-変換：&mimetex({x \choose y\mathit{i}} = r{\cos\theta \c...
極座標の強みは廻転にあり、(r,θ)をφだけ廻転させるならば、(...
***幾何学傍論 [#q88d7c99]
ユークリッド幾何学とリーマン幾何学の違いは空間の扱いにあ...
ユークリッド幾何学が古典幾何学と呼ばれるように、ユークリ...
そもそも数学とは、まづ公理ありきで始まる。公理とは絶対に...
「数学では矛盾が存在しない」ことが前提であるから、仮定さ...
さてユークリッド幾何学での公理はリーマン幾何学では通用し...
「平行な直線は直交しない」。成る程、慥かに。けれど地球儀...
リーマン幾何学では曲率を考慮する。曲率を考慮して始めて見...
***数学基礎論 [#e8aa113c]
数学基礎論はプログラミングに応用できる数学の理論だ。先程...
f(x)=yがあって、x=2のときのみf(x)=yではない、なんてのがあ...
数学基礎論は、ガウス曰く「数学は科学の女王であり、数論は...
***歸納法と演繹法 [#gcb1a31f]
歸納法は公理（仮定された命題）を證明し、演繹法は論理から...
歸納法については、公理を平行線について述べたので、示せば...
演繹法は、今ここにある論理（前提條件）があるとする。重力...
歸納法を更に「この世には男しか存在しない」という命題を仮...
数学はこの論理（人の考え出した論理學）が正しいことが前提...
プログラミングでも、論理を扱う限り、この論理は重要。
**絶対値と複素数平面 [#v5cf255d]
複素数の絶対値は実数部の自乗と虚数部の自乗の和の平方根と...
何故このように定義されているかは複素数平面を見れば非常に...
つまり原点からの距離が絶対値な訳です
**1のn乗根と複素数平面 [#o23a4576]
1のn乗根と複素数平面、何の関係があるか分かりますか？とり...
&mimetex(\begin{eqnarray*}x^3-1 & = & 0 \\ (x-1)(x^2+x+1)...
この複素数を複素数平面上に載せてみましょう
何か気がつきませんか？そう、ちょうど単位円（半径1の円）を...
余裕があるひとは他のnに関しても試してみましょう。ちゃんと...
**複素数の掛算と複素数平面 [#vbee3a49]
複素数z=a+biとw=c+diを掛けるとzw=(ac-bd)+(ad+bc)iになりま...
仮にこのzとwが単位円上に乗ってるとしましょう。
&mimetex(\begin{eqnarray*}z&=\cos \theta + i \sin \theta ...
aはcosΘ, bはsinΘ, cはcosΦ, dはsinΦとなっていることにお気...
&mimetex(\begin{eqnarray*} zw&=&(\cos \theta \cos \phi - ...
となります。つまり掛算は回転を意味する！~
ちなみに単位円上に無い場合はさらに両者の絶対値をかけてや...
**オイラーの定理 [#u99cc2cb]
オイラーの定理というものがあります。
&mimetex( e^{i\theta} = cos \theta + i sin \theta);
証明や説明は、テイラー展開とか出てきてかえって複雑なので...
これを使うと何が良いか？なんとΘを変えることで単位円上の任...
&mimetex(re^{i\theta});
プログラミングにおいて複素数が一番役立つのは回転、試しに...
ノート：複素解析において、z=re^iθ（r は定数）とおくと、dz...
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*複素数 [#w73affdd]
#contents
#br
フーリエ変換や図形の回転を語る上で複素数を欠かすことはで...
画像がうｐできないので自分で複素数平面を書きましょう。~
それから、ここの内容は高等教育での数IA IIB程度は理解でき...
**複素数の意義 [#r42aa9b1]
複素数はその本質をベクトルと同じくする。異なる点は、複素...
虚数単位の前に実数単位を考えてみよう。実数単位を n とする...
更に数を分析してゆくと、数単位は 2 の冪数だけ与えることが...
ただこう考えてみると、ベクトルより制限事項は多い。しかし...
**虚数単位 [#k5b622cf]
実数の世界においては負の数の平方根というのはありません。~
そこで-1の平方根（&mimetex(\sqrt{-1});）をi（電気系の人は...
複素数は実数と虚数単位iの実数倍の和で表されます。特に実数...
-複素数=実数部+虚数部
-複素数の実数部が0→純虚数
-複素数の虚数部が0→実数
-複素数の虚数部が0でない→虚数
英語では実数部をReal part, 虚数部をImaginary partと呼びま...
また複素数を一般的に&mimetex(a+bi);と書きます。この場合
-a←実数部
-bi←虚数部
-a=0 → biのみ → 純虚数
-b=0 → aのみ → 実数
それから共軛（共役）複素数てのがあり、「軛（くびき）を共...
何故これをこう呼ぶかといえば、複素数の単純な足し算掛け算...
それから、1の3乗根、x^3-1=0の解を思いだして欲しい。これは...
-&mimetex(\omega^3=1);
-&mimetex((\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0);
-&mimetex(\omega= 1, \frac{-1\pm\sqrt{3}\mathit{i}}{2});
**複素数の四則演算 [#vf41e242]
加算減算は実数同士虚数同士で行います。
#mimetex(\left( a+b\mathit{i} \right) + \left( c+d\mathit...
#mimetex(\left( a+b\mathit{i} \right) - \left( c+d\mathit...
掛算は普通に展開しましょう。iの2乗は-1ということを忘れな...
#mimetex(\left( a+b\mathit{i} \right)\left( c+d\mathit{i}...
乗除算が複雑に見えるかもしれませんが、要はiの2乗は-1とい...
#mimetex(\frac{ a+b\mathit{i} }{ c+d\mathit{i} } = \frac{...
**複素数に大小の概念は無い [#wf389d90]
唐突ですが複素数は大小が語れません！~
-1より0が大きく、0よりπが大きい、πより22/7が大きく・...
ところが虚数は実数軸上には存在しません~
ですから、1+2i と 3+4i を比べてどちらが大きいか？なんて語...
*複素数平面 [#sabff51f]
では実数を実数軸上に載せるように複素数を表現したいとした...
答えは簡単、軸をもう1つ用意してやればいいのです
横軸を実数軸、縦軸を虚数軸と呼びます。Re, Imと表記するこ...
実はこの複素数平面こそが複素数の最も強い部分であり、複素...
むしろ複素数平面のために複素数が生まれたんじゃないだろか...
**座標平面とはそもそも何ぞや [#se506a80]
普段我々がつかう座標平面にはそれぞれ名前があり、平成二一...
「座標」とは coordinate の訳で、日本語ではこれを「服装を...
「数直線」を中学の数学か初等教育でならうけど、数直線は座...
「座標平面」とは様々な位置が連続してる場所だ。「数直線」...
ベクトルや方程式では、ある変数を与えれば全てを表すことが...
数直線には一つの直線を与えた。「座標平面」では二つの直線...
二つの直線と言ったけれど、実際には二つの要素であり、喩え...
***デカルト座標（直交座標系） [#a9869e52]
フランスの偉大な数学者（哲学者）ルネ・デカルトにより、163...
要するにxy平面のこと。複素数平面はこれを応用した物なんだ...
座標軸がくぎる平面を、事象と呼び、xy平面では次の通り。
-第一事象（右上：xy共に正）
-第二事象（左上：xは負yは正）
-第三事象（右下：xy共に負）
-第四事象（左下：xは正yは負）
この数字には意味があって、極座標系での「角度」が0から2πへ...
***極座標系 [#z61e0956]
ここでは純粹に「圓座標」のみを扱う。圓座標をやれば、デカ...
空間の話をしたので、少し根本的なことを書く。これらの座標...
要するに今は立体（更に厳密には曲面）を無視しろということ。
さて極座標系の「圓座標」では偏角（角度）と動径（長さ）を...
圓座標では、デカルト座標への変換ができるんだ（例外もある...
-圓座標：(r,θ)
-デカルト座標：(x,y)
-條件（座標系は以下を充たす実数のとき変換できる）~
&mimetex({x \choose y} = \sqrt{x^2+y^2}{\cos\theta_{x, y}...
-変換~
&mimetex({x \choose y} = {r\cos\theta \choose r\sin\theta...
この式をみて、三角函数の公式が證明できると気付いた君はえ...
複素数では、次の応用で極座標とします。
-デカルト座標：(x,yi)
-圓座標：(r,θ)
-変換：&mimetex({x \choose y\mathit{i}} = r{\cos\theta \c...
極座標の強みは廻転にあり、(r,θ)をφだけ廻転させるならば、(...
***幾何学傍論 [#q88d7c99]
ユークリッド幾何学とリーマン幾何学の違いは空間の扱いにあ...
ユークリッド幾何学が古典幾何学と呼ばれるように、ユークリ...
そもそも数学とは、まづ公理ありきで始まる。公理とは絶対に...
「数学では矛盾が存在しない」ことが前提であるから、仮定さ...
さてユークリッド幾何学での公理はリーマン幾何学では通用し...
「平行な直線は直交しない」。成る程、慥かに。けれど地球儀...
リーマン幾何学では曲率を考慮する。曲率を考慮して始めて見...
***数学基礎論 [#e8aa113c]
数学基礎論はプログラミングに応用できる数学の理論だ。先程...
f(x)=yがあって、x=2のときのみf(x)=yではない、なんてのがあ...
数学基礎論は、ガウス曰く「数学は科学の女王であり、数論は...
***歸納法と演繹法 [#gcb1a31f]
歸納法は公理（仮定された命題）を證明し、演繹法は論理から...
歸納法については、公理を平行線について述べたので、示せば...
演繹法は、今ここにある論理（前提條件）があるとする。重力...
歸納法を更に「この世には男しか存在しない」という命題を仮...
数学はこの論理（人の考え出した論理學）が正しいことが前提...
プログラミングでも、論理を扱う限り、この論理は重要。
**絶対値と複素数平面 [#v5cf255d]
複素数の絶対値は実数部の自乗と虚数部の自乗の和の平方根と...
何故このように定義されているかは複素数平面を見れば非常に...
つまり原点からの距離が絶対値な訳です
**1のn乗根と複素数平面 [#o23a4576]
1のn乗根と複素数平面、何の関係があるか分かりますか？とり...
&mimetex(\begin{eqnarray*}x^3-1 & = & 0 \\ (x-1)(x^2+x+1)...
この複素数を複素数平面上に載せてみましょう
何か気がつきませんか？そう、ちょうど単位円（半径1の円）を...
余裕があるひとは他のnに関しても試してみましょう。ちゃんと...
**複素数の掛算と複素数平面 [#vbee3a49]
複素数z=a+biとw=c+diを掛けるとzw=(ac-bd)+(ad+bc)iになりま...
仮にこのzとwが単位円上に乗ってるとしましょう。
&mimetex(\begin{eqnarray*}z&=\cos \theta + i \sin \theta ...
aはcosΘ, bはsinΘ, cはcosΦ, dはsinΦとなっていることにお気...
&mimetex(\begin{eqnarray*} zw&=&(\cos \theta \cos \phi - ...
となります。つまり掛算は回転を意味する！~
ちなみに単位円上に無い場合はさらに両者の絶対値をかけてや...
**オイラーの定理 [#u99cc2cb]
オイラーの定理というものがあります。
&mimetex( e^{i\theta} = cos \theta + i sin \theta);
証明や説明は、テイラー展開とか出てきてかえって複雑なので...
これを使うと何が良いか？なんとΘを変えることで単位円上の任...
&mimetex(re^{i\theta});
プログラミングにおいて複素数が一番役立つのは回転、試しに...
ノート：複素解析において、z=re^iθ（r は定数）とおくと、dz...
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