解析学
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[[数学]] > 解析学（analysis）
*解析学 [#l265b9ee]
**解析学について [#l8f88f61]
微分や積分は解析学と称されます。旧課程の教科書では「数学...
なぜ微分や積分は解析学と呼称されるのでしょう。この分野で...
なおこの微分・積分の発見、どうも時代的必然であったようで...
**既存の項目 [#i78ff598]
[[微分]]・・・重複。どうしよう。ちなみに[[積分]]は無えぞ。
**必要な知識 [#f5205d7f]
第一に種々の函数の取扱い方。線函数、抛物線函数、橢円函数...
次に極限の性質。&mimetex(\lim_{\theta \to 0 } \frac{\sin\...
更にまた、&mimetex(\lim_{\theta \to 0 } \frac{\sin 2\thet...
**準備篇 - 極限について [#b20971fc]
#mimetex(\lim_{h \to \infty} (1+\frac{1}{h})^h = e\\ \lim...
知識として憶えるべき数値は、上二つ。後は「発散」「収斂」...
極限の処理について不可解な点があるとすれば、つまり「発散...
譬えば「任意の函数 f(x) の極限が a の時、f(cx) の極限は幾...
**解析学に関するサイトとか [#h07275fe]
-[http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/ 数理情報研究室]
-[http://www33.ocn.ne.jp/~aozora_gakuen/ 青空学園数学科]
比較的分り易い（と思った解説のなされたページ）。證明を%%...
**目次 [#c3e074c2]
#contents
*初等解析 - 微分篇 [#mae291de]
微分とは読んで字のごとく、細分化する作業。解析学について...
**微分法とは [#pe11cb99]
抛物線は一様な変化をしないため、よく例題として取り上げら...
|~x|>|0|>|1|>|2|>|3|>|4|>|5|
|~y|>|0|>|1|>|4|>|9|>|16|>|25|
|~Δy/Δx|-|>|1|>|3|>|5|>|7|>|9|-|
物理を初めて習った時、実験データの解析（移動距離と速度）...
変数 x が同じ値（ここではΔx = 1）だけ変化した時、変数 y ...
次に変数 x の変化量を Δx と置き、y の 変化量 Δy とその平...
x→x+Δx の時 &mimetex(y+\Delta y=(x+\Delta x)^2); ですから...
次に Δy/Δx を求めてみましょう。明らかに &mimetex(\frac{\D...
もし仮に、Δx が微細であるとき、つまり変数 x の変化量が僅...
**微分法の利用 [#raa660d8]
連続したグラフ上の二点間を結んだ直線の傾きは、その二点間...
変化前の点を点S、変化後の点を点Tとしましょう。先程の Δx ...
譬えば P の場合、Δy/Δx = 2x という近似式が求まりましたが...
**微分係数の定義と函数の連続 [#rf244cec]
微分とは微分係数や導函数を導出することを謂う。
#mimetex(\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{h \...
函数 f(x) において上の極限が存在するとき、「f(x)は x=a で...
#mimetex(f'_+(a) = \lim_{h \to +0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h});
#mimetex(f'_-(a) = \lim_{h \to -0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h});
更にまた y = 1/x などは、x=0 の前後では全く異なる値を取っ...
つまり函数が連続でなければ、接線の傾きや平均変化量と謂っ...
**導函数の導出 [#u805f5e6]
#mimetex(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x));
微分可能な函数の微分係数を、微分した変数で表すことができ...
また、さっきまでΔで表してた表記を、数学における微分法では...
**種々の導函数 [#b8b8b513]
手始めに三次方程式までの導函数を考えてみましょう。言うま...
#mimetex((const)' = 0, \ (x)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h...
一次の場合は簡単ですね。
#mimetex((x^2)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-(x)^2}{h} ...
二次も簡単でした。勘のいい人は何か感づいて居られるかもし...
#mimetex((x^3)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3-(x)^3}{h} ...
三次も簡単でしたね。つまりn次な方程式は、n-1次な導函数に...
#mimetex((x+h)^n = x^n + nh \cdot x^{n-1} + h^2 \cdot R(x...
x+h の n乗を展開してみると、二項定理から上式に変形できま...
#mimetex((x^n)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n-(x)^n}{h} ...
n が自然数の時の n 次方程式が、どのような導函数をとるかと...
***合成函数 [#h846888d]
#mimetex(y = f(u),\ u = g(x),\ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{...
なんだこれ第一弾。ようこそ微分方程式の世界へ。初めて見た...
證明：&mimetex(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{...
増分をΔx、Δy、Δu とおく方式をとりましょう。定義から &mime...
u は x の函数ですから、&mimetex(\Delta x \mapsto 0); の時...
応用例題：&mimetex(y = f(u),\ u = g(x)); はおのおの u の...
この時、合成函数 &mimetex(y = f(g(x))); が、微分方程式 &m...
この例題は、初学者にとってはかなりむづかしいので、「多変...
***逆函数 [#od63551e]
#mimetex(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}});
わけのわからん数式を書き換えただけじゃないかと謗らないで...
例題：&mimetex(y=\sqrt[4]{x}); を微分せよ。
&mimetex(y^4=x); なので、x を y で微分すると、&mimetex(\f...
***導函数の性質 [#f955da86]
#mimetex(\{kf(x)+lg(x)\}' = kf'(x)+lg'(x)\\ \{f(x)\cdot g...
有理函数の導函数は、函数の積の導函数から導くこともできま...
#mimetex(\{\frac{1}{f(x)}\}' = \frac{-f'(x)}{\{f(x)\}^2});
分子が 1 や定数になる場合の導函数も憶えておくと便利。これ...
#mimetex(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)\\...
任意に微分可能で導函数の定義から上の極限が成立するとき、
#mimetex(\{kf(x)+lg(x)\}' = \lim_{h \to 0} \frac{\{kf(x+h...
線型性は容易に證明されます。函数の積の導函数はどうでしょ...
#mimetex(\{f(x)\cdot g(x)\}' = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + ...
少し面倒ですが證明されました。この関係をライプニッツ則と...
#mimetex(\{\frac{f(x)}{g(x)}\}' = \big[f(x)\cdot\{g(x)\}^...
ライプニッツ則と「合成函数」の導函数により、有理函数の導...
***高階導函数 [#yd46a1cf]
#mimetex(\frac{d^ny}{dx^n},\ f^{(n)}(x));
導函数が更にまた導函数を持つことがある。導函数を導いた函...
***媒介変数函数 [#bca4266e]
#mimetex(x = f(t),\ y = g(t),\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt...
「合成函数」「逆函数」で得られた事項を整理すると、媒介変...
例題：媒介変数 t が&mimetex(x = 2t + 1,\ y = t^2);を満た...
恐らくは &mimetex(\frac{dy}{dt} = 2t,\ \frac{dx}{dt} = 2,...
***多変数函数 [#qac983ca]
#mimetex(F(x,y) = f(x) + g(y),\ \frac{d}{dx}F(x,y) = f'(x...
多変数函数F(x,y)をxで微分するにはどうすればよいか。上の例...
例題：双曲線函数 &mimetex(x^2-y^2=1); における、yのxに関...
&mimetex(\frac{d}{dx}y^2 = 2y\cdot\frac{dy}{dx}); なので...
例題：函数 &mimetex(xy=1); （x,y は正）における、yのxに関...
y=1/x としてもいいけれど、ここでは &mimetex(\frac{d}{dx}(...
***n次方程式（冪乗） [#a5e0fc4f]
#mimetex((x^n)' = n\cdot x^{n-1});
n が負の場合は「導函数の性質」での有理函数の導函数から、...
この全実数域での證明には「対数微分法」を利用する（後述を...
例題：y,x,n が実数の時、&mimetex(y = x^n); を微分せよ。
#mimetex(y = x^n\\ \log y = n\cdot \log x \\ \frac{y'}{y}...
これにて「xを底とした実数乗な函数」における導函数の公式が...
#mimetex(\{(ax + b)^n\}' = an(ax + b)^{n-1});
それから数学Ⅱだと発展的な内容とされる上式も憶えておくとよ...
***円函数 [#nc006f1d]
#mimetex((\sin x)' = \cos x\\ (\cos x)' = -\sin x\\ (\tan...
「導函数の性質」で述べたことから、正接 tan x の證明は、正...
#mimetex(\sin (x+h) - \sin x = \sin x(\cos h - 1) + \cos ...
加法定理から上式が得られるので、導函数の定義を利用すると、
#mimetex(\lim_{h \to 0}\frac{\sin (x+h) - \sin x}{h}= \li...
同様にして、
#mimetex(\cos (x+h) - \cos x = \cos x(\cos h - 1) - \sin ...
この程度のことは極限が整理できれば簡単でありますな。つい...
#mimetex((\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}\ \ \{= -\csc^2 x...
なんとなく周期性があるわけですね。これらの事は、数学的に...
***対数函数・指数函数 [#e71672c8]
#mimetex((\log |x|)' = \frac{1}{x},\ (\log_{a} |x|)' = \f...
対数函数は自然対数の場合底を表記せず、指数函数の e はネイ...
#mimetex(\frac{d}{dx}\log |y| = \frac{y'}{y});
が成立します。この性質は「n次方程式」「指数函数」の導函数...
#mimetex((\log_{a}|x|)' = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\log...
さて本丸である対数函数の導函数を考えてみましょう。
#mimetex(\frac{\log_{a} |x + \Delta x| - \log_{a} |\Delta...
極限の対数を整理してやり、ここで &mimetex(h = \frac{\Delt...
#mimetex(\lim_{h \to 0}\frac{1}{\Delta x}\log_{a} 1 + \fr...
上式となって、これは収斂することが知られています。この極...
#mimetex(\lim_{h \to 0}(1 + h)^{\frac{1}{h}} = e = 2.7182...
e と定義すると、計算が楽になります。これを「ネイピア数」...
#mimetex(\lim_{h \to 0}\frac{1}{x}\log_{a} (1 + h)^{\frac...
このように整理でき、極限を底とした対数を取ってやると、後...
#mimetex((\log_{a}|x|)' = \frac{1}{x}\log_{a} e = \frac{1...
纏めてみれば一目瞭然として a = e の時、対数函数の導函数が...
数学Ⅱ で対数函数を扱った際、計算的な技巧としか思えない扱...
***他にも導函数が知りたいのですが [#x29dad5a]
他にも知りたいとは、君はなかなかの勉強家であると思われる...
#mimetex(\log |x| = \{x(\log |x| - 1)\}');
微分すると対数函数になる関係を憶えておくと役立つかもしれ...
**接線と法線 [#zee8e24c]
#mimetex(y-f(a)=f'(a)(x-a)\\y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a));
ここまで計算が中心だったけど、そろそろ微分の強みというか...
函数 f(x) の微分可能な区間における接線は、x = a において...
法線は接線と直交する直線。直角に交叉する直線同士の場合、...
**平均値と導函数 [#kd35cc3d]
閉区間[a,b]で微分可能な函数 f(x)、g(x)と、a < ξ < b な ξ ...
高校の教科書を見てみると、直感的解説だけで、證明が載って...
***Rolle の定理 [#r21297e5]
#mimetex(f(b) - f(a) = 0 \Rightarrow f'(\xi) = 0);
Lagrange の定理の特殊解。ここで f(a)=f(b)=0 としましょう...
恒に f'(x) = 0 ならば定理は成立します。f(x) が正の値を取...
x = ξ では、f(x) の変化量 Δf は 0 以下です。ですから、x =...
-Δx > 0 とすれば Δf/Δx は 0 以下。導函数の定義から、f'(ξ)...
-Δx < 0 とすれば Δf/Δx は 0 以上。導函数の定義から、f'(ξ)...
二つの条件を合算すれば、f'(ξ) = 0 にしかなりませんから、...
註：これは、極値が存在する場合、一階導函数が 0 に等しい事...
註：この定理は、閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能...
***Lagrange の定理 [#g4a6552e]
#mimetex(\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(\xi));
所謂平均値の定理は Lagrange の定理を指す事が多い。F(x) = ...
註：この公式は導函数の定義に似て居るが、b を a に近づける...
***Cauchy の定理 [#k25cbc3d]
#mimetex(\frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g...
Lagrange の定理の一般解（g(x)=x）。当然ながら、分母は 0 ...
F(a) = F(b) を整理すると、λ = f(b) - f(a), μ = g(b) - g(a...
ここで g'(ξ) は 0 ではない。若し 0 とすれば、仮定により g...
**函数のグラフ [#cd4b2726]
今まで考えてきた計算を除き、高校生が一番に微分法を利用す...
以下では変数 x に対して二回以上微分可能な函数 f(x) に関し...
***増減 [#v050ca58]
一階導函数は函数の変化率を示す。変化率が正の場合、変数 x ...
-f'(x)>0 の場合、f(x) の値は x の増分に対して増加し、これ...
-f'(x)<0 の場合、f(x) の値は x の増分に対して減少し、これ...
-f'(x)=0 の場合、x の増分に対して増減が無い。
これは重要な特性である。譬えばであるが、複雑な方程式の大...
なお変数 x の増分に対しての増減であることに注意して欲しい...
***極大・極小 [#abc6e99b]
曲線の増減が変わる点は、極値と謂って、極大点・極小点の別...
-f'(x) が正から負へ変わる点は、極大点となり、この時のf(x)...
-f'(x) が負から正へ変わる点は、極小点となり、この時のf(x)...
以上の定義を考えれば、f'(x) = 0 となる点を調べあげ、正負...
***凹凸 [#gbddfccf]
増減は更に凹凸へと分類できる。同じ増すでも、その勢いが「...
さて凹凸が増減の増減であることは述べたけど、実際に凹凸た...
-f''(x) が正であれば、f'(x) は単調増加。f(x) は...
-f''(x) が負であれば、f'(x) は単調減少。f(x) は...
***変曲点 [#e49cdb1b]
曲線の凹凸が変わる所を変曲点と謂う。つまり f''(...
***グラフの描き方 [#fba70a48]
増減表なる物が便利でよく利用される。大したことはない、単...
例題：xy 平面上の曲線 &mimetex(y = \frac{x^3 + 4}{3x^2});...
#mimetex(y' = \frac{x^3-8}{3x^3}, \ y'' = \frac{8}{x^4}, ...
定義域は x ≠ 0。だから連続ではない x = 0 の前後は調べる必...
#mimetex(y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3x^2});
今回の場合は式を整理してみると、x に関する極限で、収斂す...
#mimetex(\lim_{x \to \infty}(y - \frac{x}{3}) = 0,\ \lim_...
式をみれば y は発散しているが、その発散の仕方には &mimete...
|~x|…|0|…|2|…|
|~y|→↑|×|↓→|0|→↑|
|~y'|+|×|-|0|+|
|~y''|+|×|>|>|+|
ここでひとつ註を。この増減表は一般例の一つであって、書き...
増減表は凹凸を含めると増減凹凸表とも謂うみたいだけど、そ...
***グラフの活用法 [#q80515fb]
応用例題：&mimetex(ax = \log x); の異なる実数解の数を解析...
随分毛色が違いますなあ、などと謂わないで頂きたい。グラフ...
先に解法を述べてしまったけれど、解法には少し癖がある。y =...
つまり例題だと &mimetex(a = \frac{\log x}{x}); と変形する...
#mimetex(\lim_{x \to +0}f(x) = -\infty,\\ \lim_{x \to \in...
|~x|0|…|e|…|
|~f(x)|×|↗|&mimetex(\frac{1}{e});|↘|
|~f'(x)|×|+|0|-|
調べてみると、f(x) は実数全体を表さないことに気づく。y = ...
-&mimetex(\frac{1}{e} < a); の時、実数解無し
-&mimetex(a \le 0,\ a = \frac{1}{e}); の時、実数解一つ
-&mimetex(0< a < \frac{1}{e}); の時、実数解二つ
&mimetex(e^{-\frac{1}{4}x^2} = a(x-3)); の場合の答えも示...
-&mimetex(a = 0); の時、実数解無し
-&mimetex(a < -\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{4}},\ -e^{-1} < a ...
-&mimetex(a = -\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{4}},\ -e^{-1}); の...
-&mimetex(-\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{4}} < a < \ -e^{-1}); ...
手元のテキストから抜萃したんだが、愛知教育大の過去問らし...
それから。実数解が解析できるということは、函数の大小も解...
**補稿 [#t27a0ae7]
高校では習わない表現と分野を纏めたり、ざっくり書いてみた...
***対数微分法 [#j109cb04]
対数函数は解析函数とか呼ばれてるそうですが、大変便利な奴...
例題：&mimetex(y=\sqrt[3]{\frac{(x+2)^4}{x^2(x^2+1)}}); ...
力技で解くと絶対に計算ミスをしそうですな。そこで対数微分...
補題：&mimetex(\log |y|); を x で微分し、例題の函数を対数...
#mimetex(\frac{d}{dx}\log |y|=\frac{d}{dy}\frac{dy}{dx}\l...
#mimetex(\log y=\frac{4\log|x+2| - 2\log|x| - \log(x^2+1)...
補題は簡単です。後はこれを組み合わせて例題を解きます。つ...
#mimetex(\log y=\frac{4\log|x+2| - 2\log|x| - \log(x^2+1)...
多くの場合、真数条件に拘う必要はありません。対数微分法は...
***速度と加速度 [#lf0f88e2]
#mimetex(\vec{v} = \frac{d}{dt}\vec{p},\ \vec{a} = \frac{...
ベクトルで表した理由は、向きと大きさを表現する必要性があ...
例題：【等速円運動】xy 平面上で等速円運動を繰り返す場合、...
上の例題を見ても、物理的現象を数学的に解析することができ...
***近似式の発見 [#o2830eac]
#mimetex(\lim_{h \to 0} f(a+h) \simeq f(a) + f'(a)\cdot h...
この関係は一次近似式と謂う式の関係である。この直截的解説...
例題：&mimetex(\sqrt[3]{730}); を一次近似し、小数第四位ま...
根の計算法は「開立法（立方根）」「開平法（平方根）」が知...
***近似式の展開 [#v1eebc0b]
#mimetex(\lim_{h \to 0} f(a+h) \simeq f(a) + f'(a)\cdot h...
更にこれが二次近似式である。a = 0 の場合を考えてやると、...
差し当たっては、随分前に「高校生向けの證明は無いだろうか...
二次近似式の項は一次近似式と一致する部分がある。これは、...
#mimetex(f(a) = \int_{0}^{a} f'(x)\, dx,\ f(a+h) = \int_{...
この値の関係と一階導函数のグラフにおける面積を考察する。f...
実際に図を描いて「一階導函数における接線」を引いてやると...
f(a+h) になる面積は既に図に明らかである。f(a+h)-f(a)の部...
以上これらの関係は、計算するうちに、證明をみるうちに、式...
***ニュートン法 [#q8534636]
ニュートンの方法とも謂うらしいけれど、今ここではニュート...
区間 [a,b] に於て f''(x)>0,f(a)>0,f(b)<0 とすると、f(x) =...
#mimetex(a_{n+1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)},\ \ a_1 =...
この数列 an は有界で且つ単調増加。また極限は f(x) = 0 の...
#mimetex(b_{n+1} = b_n - \frac{f(b_n)}{f'(b_n)},\ \ b_1 =...
という右から左へのbnの極限を考えることもできる。この場合...
これをニュートン法と謂う。面倒なので證明は略。凸函数であ...
***凹凸の意味 [#gdfc7db4]
凸函数と呼ばれる物がある。任意の二点を結ぶと領域内に収ま...
こう考えてみると、凹凸が違った物にみえてこないでしょうか...
***偏微分 [#ke8cbb98]
詳しくは述べないけれど、多変数函数の場合、全ての変数をあ...
#mimetex(z=f(x)+g(y),\ \frac{dz}{dx} = f'(x) + \frac{dy}{...
f(x) は多変数函数ではないので、x で全微分しても、x で偏微...
例題：xy 平面上の曲線 &mimetex(\frac{x^2}{\cos^2\theta}-\...
ふと平成二十二年度の阪大の入試問題（前期数学理系）を見て...
#mimetex(\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{\cos^2\theta}) = 2\frac{...
であるから &mimetex(\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\cdot\tan^2\...
#mimetex(y-b=\frac{a}{b}\cdot\tan^2\theta\cdot(x-a));
ここでは θ だけを定数と看做しているのがポイントであり、こ...
詳しく書くとややこしいから、概念の導入の意味を以て、上の...
***テイラー級数[#e37de8c9]
近似式を展開すると新たな近似式に繫がるらしいことは、「近...
#mimetex(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (...
x = a 近傍で成立します。この冪級数が求まる函数を、テイラ...
#mimetex(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^...
a = 0 の場合の特殊解を、特にマクローリン展開と謂うんです...
#mimetex(\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n,\ for\ |x|...
譬えば、この級数ぐらいは高校生でも理解できることでしょう。
参考：[[Taylor 展開（数理塾）>http://math-lab.main.jp/tay...
註：無限回微分が可能な函数は稀に思える。平均値の定理を有...
***高階導函数の公式 [#q73e7aba]
函数の積の微分、合成函数の微分の公式は知られてるけど、そ...
#mimetex(\frac{d^n}{dx^n}\{f(x)g(x)\} = \sum_{k=0}^n \beg...
合成函数の公式、Faà di Bruno の公式は、少し面倒だ。F(u)を...
#mimetex(\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}F(u) = \sum_{k=1}^n\...
ただし條件 i は、
#mimetex(i_1 \ge 0,\ i_2 \ge 0,\ \cdots,\ i_n \ge 0,\ k =...
を満たす数列 im を考える事を表す。
Leibnizの公式は兎も角、Faà di Bruno の公式は意味すらわか...
答：Faà di Bruno の公式の證明は、テイラー展開を利用する。...
*初等解析 - 積分篇 [#ha7d9116]
積分って概念は簡単なんだけど、体系的に纏めようとすると、...
**積分法とは [#a7c9b912]
**積分法の利用 [#l9b96bac]
**不定積分と定積分 [#sec4fbf4]
註：問題が無い限り積分定数は C で統一する。C は任意の値で...
**種々の積分 [#f4e3531a]
***積分の性質 [#hb3c0274]
***置換積分法 [#w05256a6]
#mimetex(\int f(x) dx = \int \frac{dt}{dx}\cdot f(g(t))\,...
不定積分では、&mimetex(x = g(t)); な媒介変数の関係が連続...
#mimetex(\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \int_{\alpha}^{\beta} \...
定積分において、t に関する積分として計算する事ができる。...
#mimetex(dx = \frac{dx}{dt}\cdot dt);
が成立している。このような数式を微分形式と謂うが、これは ...
***部分積分法 [#a5e22e67]
#mimetex(\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\, ...
この不定積分は、ライプニッツ則 &mimetex(\{f(x)\cdot g(x)\...
#mimetex(\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\, dx = \Big[f(x)g(x)\Big]...
定積分の場合、積分区間は不変であるから、積分の定義から上...
例題：不定積分 &mimetex(\int x^2\sin x\, dx); を解け。
**積分の解法 [#k9c510a8]
微分にもまして積分では技巧的になる。まづ知らないとすぐに...
応用例題：不定積分 &mimetex(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}}...
五分とか十分程度でいいから、今までやってきた知識を使って...
***積分の準備 [#s9e624b1]
-自分の知って居る函数に帰著するように式を変形する。
-円函数は積和・加法定理等でなるべく冪の積分を避ける。
-無理函数は有理化する。有理函数は部分分数分解を行ってみる。
-奇函数や偶函数の定積分は、計算的「省略」が可能。
例題：&mimetex(\int \frac{dx}{1+\sin x} = \int \frac{1 - ...
例題：&mimetex(\int \log x\, dx = \int (x)'\cdot\log x\, ...
なかなか解けたものではない事に気づかれる筈。慣れるしかな...
例題：不定積分 &mimetex(I = \int e^x\sin x\, dx,\ J = \in...
似たような問題を「部分積分法」で提示したが、こちらは消え...
#mimetex(I = e^x\sin x - J,\ J = e^x\cos x + I\\ \therefo...
が成立するので、これを解いてやると、不定積分が得られる。
#mimetex(I = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C,\\ J = \...
勿論、二回部分積分を繰り返しても同じ結果になるのは明らか...
***複素解析への誘い [#s8dec498]
#mimetex(I = \int e^{ax}\sin bx\, dx,\ J = \int e^{ax}\co...
上掲の不定積分 I, J を更に一般化した式を考えてみる。部分...
#mimetex(J + iI = \int e^{x(a + bi)}\, dx\\ = \frac{e^{x(...
今、左辺と右辺の実部と虚部に著目すれば、簡単に不定積分が...
#mimetex(e^{xi} = \cos x + i\sin x);
と謂う複素解析の常識（オイラーの公式）を利用している。こ...
***部分積分の要諦 [#q8695bef]
#mimetex(\int R'(x)logx\, dx);
この不定積分は、R を微分可能な有理函数ならば（註：次の「...
#mimetex(\int R'(x)logx\, dx = R(x)log x - \int \frac{R(x...
この様な手法において、特に、R(x) = x と解釈する例（logxの...
***有理函数 [#ld9bbf8f]
多項式の函数は必ず積分できる。積分が線型性を有し且つ積分...
部分分数分解の結果得られる被積分函数は次の三通りでしかな...
#mimetex(\int \frac{1}{(x+a)^n}\, dx,\ \int \frac{x}{(x^2...
これらの積分は、部分分数分解で得られる分数を、めいめい分...
ここで憶えておいて欲しいことは、初等的手段で積分可能な函...
***円函数 [#b1b16d03]
円函数で表される有理函数は、有理化可能、すなはち積分可能...
#mimetex(t = tan \frac{x}{2},\ dx = \frac{2dt}{1 + t^2},\...
高校生向けの問題集、オリジナル数Ⅲには掲載されていたので、...
#mimetex(\int F(\cos x,\sin x)\, dx = \int F(\frac{1 - t^...
式を見れば、瞭然として、有理化が完了したことを諒解できる...
#mimetex(F(\cos x,\sin x) = f(\cos x) + g(\cos x)\sin x\\...
F,f,g,Φ,ψ はいづれも有理式であるが、この操作は必ず実行で...
***無理函数（甲種） [#l787cad3]
分子か分母かで話は変わるが、一般的には円函数を用いる。或...
F(x,y)を有理式とすると、&mimetex(\int F(x,\sqrt{ax^2 + bx...
#mimetex(\sqrt{(x-a)(b-x)} = (\frac{b-a}{2})\sqrt{1-t^2});
と謂う変形が &mimetex(x = \frac{b-a}{2}t+\frac{b+a}{2}); ...
#mimetex(\sqrt{x^2 + p^2} = \frac{p}{\cos\theta},\ \sqrt{...
有理化は x = ptanθ,psecθ,psinθ で実行できる。この時、根号...
***無理函数（乙種） [#q4784713]
搦め手で攻めて見よう。今度は、&mimetex(\int F(x,\sqrt{ax^...
***高等函数 [#kd2fbc56]
ガウス積分は積分できない。対数積分は積分できない。無理函...
***他にも積分が知りたいのですが [#e2a3b35e]
豪儀な奴だ。「導函数」でも述べたけど、物事には限度って物...
応用例題：定積分 &mimetex(\int_{0}^{2} \frac{2x+1}{\sqrt{...
流石と謂うべきか、高校生に必要な技巧の殆どを要求する問題...
#mimetex(\int_{0}^{2} \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}\, dx = \i...
これが解答なわけですが、解けましたでしょうか。解けた？ ...
さて。実はこれ、「積分の解法」で示した応用例題の解答でも...
#mimetex(t = \log(x + \sqrt{x^2 + a}),\ \frac{dt}{dx} = \...
この問題は、t の x に関する導函数を求めるものでしたが、
#mimetex(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}} = \log(x + \sqrt{...
上の不定積分を示唆してますな。府大の問題は、これを利用し...
#mimetex(u = \sin\theta,\ x = \sqrt{a}\tan\theta,\ \int \...
長くなりましたが、最後に log a を積分定数に放り込んでしま...
#mimetex(t = \cosh^{-1} x \ (a = 1));
これは逆双曲線函数です。双曲線函数は「導函数」で言及した...
**積分方程式の微分法 [#e2750aaf]
**区分求積法 [#p35b3745]
#mimetex(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n f...
**定積分の大小 [#kdc527b0]
**求積法 [#p654f548]
***面積 [#m075ab6c]
***体積 [#se3f7921]
**微分方程式 [#h2ace89d]
**補稿 [#db918ab7]
***部分分数分解 [#uec64a1d]
代数学の基本定理を利用する。
***曲線の長さ [#ee3b39a0]
***速度と道程 [#w505f763]
数学Ⅲでは函数&mimetex(x=f(t), y=g(t));を与えた時に(x,y)が...
&mimetex(L=\int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy...
&mimetex(L=\int_{a}^{b} |\vec{v}|\, dt);
***変数分離法 [#z2f161b1]
***取り尽くし法 [#rddcdd49]
***微分方程式の解法 [#k817462b]
***重積分 [#kda76565]
多変数函数の積分。いろいろ複雑。
***積分の拡張 [#g51cad58]
ルベーグ積分：連続性によらない積分。積分や微分では、今ま...
終了行:
[[数学]] > 解析学（analysis）
*解析学 [#l265b9ee]
**解析学について [#l8f88f61]
微分や積分は解析学と称されます。旧課程の教科書では「数学...
なぜ微分や積分は解析学と呼称されるのでしょう。この分野で...
なおこの微分・積分の発見、どうも時代的必然であったようで...
**既存の項目 [#i78ff598]
[[微分]]・・・重複。どうしよう。ちなみに[[積分]]は無えぞ。
**必要な知識 [#f5205d7f]
第一に種々の函数の取扱い方。線函数、抛物線函数、橢円函数...
次に極限の性質。&mimetex(\lim_{\theta \to 0 } \frac{\sin\...
更にまた、&mimetex(\lim_{\theta \to 0 } \frac{\sin 2\thet...
**準備篇 - 極限について [#b20971fc]
#mimetex(\lim_{h \to \infty} (1+\frac{1}{h})^h = e\\ \lim...
知識として憶えるべき数値は、上二つ。後は「発散」「収斂」...
極限の処理について不可解な点があるとすれば、つまり「発散...
譬えば「任意の函数 f(x) の極限が a の時、f(cx) の極限は幾...
**解析学に関するサイトとか [#h07275fe]
-[http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/ 数理情報研究室]
-[http://www33.ocn.ne.jp/~aozora_gakuen/ 青空学園数学科]
比較的分り易い（と思った解説のなされたページ）。證明を%%...
**目次 [#c3e074c2]
#contents
*初等解析 - 微分篇 [#mae291de]
微分とは読んで字のごとく、細分化する作業。解析学について...
**微分法とは [#pe11cb99]
抛物線は一様な変化をしないため、よく例題として取り上げら...
|~x|>|0|>|1|>|2|>|3|>|4|>|5|
|~y|>|0|>|1|>|4|>|9|>|16|>|25|
|~Δy/Δx|-|>|1|>|3|>|5|>|7|>|9|-|
物理を初めて習った時、実験データの解析（移動距離と速度）...
変数 x が同じ値（ここではΔx = 1）だけ変化した時、変数 y ...
次に変数 x の変化量を Δx と置き、y の 変化量 Δy とその平...
x→x+Δx の時 &mimetex(y+\Delta y=(x+\Delta x)^2); ですから...
次に Δy/Δx を求めてみましょう。明らかに &mimetex(\frac{\D...
もし仮に、Δx が微細であるとき、つまり変数 x の変化量が僅...
**微分法の利用 [#raa660d8]
連続したグラフ上の二点間を結んだ直線の傾きは、その二点間...
変化前の点を点S、変化後の点を点Tとしましょう。先程の Δx ...
譬えば P の場合、Δy/Δx = 2x という近似式が求まりましたが...
**微分係数の定義と函数の連続 [#rf244cec]
微分とは微分係数や導函数を導出することを謂う。
#mimetex(\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{h \...
函数 f(x) において上の極限が存在するとき、「f(x)は x=a で...
#mimetex(f'_+(a) = \lim_{h \to +0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h});
#mimetex(f'_-(a) = \lim_{h \to -0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h});
更にまた y = 1/x などは、x=0 の前後では全く異なる値を取っ...
つまり函数が連続でなければ、接線の傾きや平均変化量と謂っ...
**導函数の導出 [#u805f5e6]
#mimetex(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x));
微分可能な函数の微分係数を、微分した変数で表すことができ...
また、さっきまでΔで表してた表記を、数学における微分法では...
**種々の導函数 [#b8b8b513]
手始めに三次方程式までの導函数を考えてみましょう。言うま...
#mimetex((const)' = 0, \ (x)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h...
一次の場合は簡単ですね。
#mimetex((x^2)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-(x)^2}{h} ...
二次も簡単でした。勘のいい人は何か感づいて居られるかもし...
#mimetex((x^3)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3-(x)^3}{h} ...
三次も簡単でしたね。つまりn次な方程式は、n-1次な導函数に...
#mimetex((x+h)^n = x^n + nh \cdot x^{n-1} + h^2 \cdot R(x...
x+h の n乗を展開してみると、二項定理から上式に変形できま...
#mimetex((x^n)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n-(x)^n}{h} ...
n が自然数の時の n 次方程式が、どのような導函数をとるかと...
***合成函数 [#h846888d]
#mimetex(y = f(u),\ u = g(x),\ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{...
なんだこれ第一弾。ようこそ微分方程式の世界へ。初めて見た...
證明：&mimetex(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{...
増分をΔx、Δy、Δu とおく方式をとりましょう。定義から &mime...
u は x の函数ですから、&mimetex(\Delta x \mapsto 0); の時...
応用例題：&mimetex(y = f(u),\ u = g(x)); はおのおの u の...
この時、合成函数 &mimetex(y = f(g(x))); が、微分方程式 &m...
この例題は、初学者にとってはかなりむづかしいので、「多変...
***逆函数 [#od63551e]
#mimetex(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}});
わけのわからん数式を書き換えただけじゃないかと謗らないで...
例題：&mimetex(y=\sqrt[4]{x}); を微分せよ。
&mimetex(y^4=x); なので、x を y で微分すると、&mimetex(\f...
***導函数の性質 [#f955da86]
#mimetex(\{kf(x)+lg(x)\}' = kf'(x)+lg'(x)\\ \{f(x)\cdot g...
有理函数の導函数は、函数の積の導函数から導くこともできま...
#mimetex(\{\frac{1}{f(x)}\}' = \frac{-f'(x)}{\{f(x)\}^2});
分子が 1 や定数になる場合の導函数も憶えておくと便利。これ...
#mimetex(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)\\...
任意に微分可能で導函数の定義から上の極限が成立するとき、
#mimetex(\{kf(x)+lg(x)\}' = \lim_{h \to 0} \frac{\{kf(x+h...
線型性は容易に證明されます。函数の積の導函数はどうでしょ...
#mimetex(\{f(x)\cdot g(x)\}' = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + ...
少し面倒ですが證明されました。この関係をライプニッツ則と...
#mimetex(\{\frac{f(x)}{g(x)}\}' = \big[f(x)\cdot\{g(x)\}^...
ライプニッツ則と「合成函数」の導函数により、有理函数の導...
***高階導函数 [#yd46a1cf]
#mimetex(\frac{d^ny}{dx^n},\ f^{(n)}(x));
導函数が更にまた導函数を持つことがある。導函数を導いた函...
***媒介変数函数 [#bca4266e]
#mimetex(x = f(t),\ y = g(t),\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt...
「合成函数」「逆函数」で得られた事項を整理すると、媒介変...
例題：媒介変数 t が&mimetex(x = 2t + 1,\ y = t^2);を満た...
恐らくは &mimetex(\frac{dy}{dt} = 2t,\ \frac{dx}{dt} = 2,...
***多変数函数 [#qac983ca]
#mimetex(F(x,y) = f(x) + g(y),\ \frac{d}{dx}F(x,y) = f'(x...
多変数函数F(x,y)をxで微分するにはどうすればよいか。上の例...
例題：双曲線函数 &mimetex(x^2-y^2=1); における、yのxに関...
&mimetex(\frac{d}{dx}y^2 = 2y\cdot\frac{dy}{dx}); なので...
例題：函数 &mimetex(xy=1); （x,y は正）における、yのxに関...
y=1/x としてもいいけれど、ここでは &mimetex(\frac{d}{dx}(...
***n次方程式（冪乗） [#a5e0fc4f]
#mimetex((x^n)' = n\cdot x^{n-1});
n が負の場合は「導函数の性質」での有理函数の導函数から、...
この全実数域での證明には「対数微分法」を利用する（後述を...
例題：y,x,n が実数の時、&mimetex(y = x^n); を微分せよ。
#mimetex(y = x^n\\ \log y = n\cdot \log x \\ \frac{y'}{y}...
これにて「xを底とした実数乗な函数」における導函数の公式が...
#mimetex(\{(ax + b)^n\}' = an(ax + b)^{n-1});
それから数学Ⅱだと発展的な内容とされる上式も憶えておくとよ...
***円函数 [#nc006f1d]
#mimetex((\sin x)' = \cos x\\ (\cos x)' = -\sin x\\ (\tan...
「導函数の性質」で述べたことから、正接 tan x の證明は、正...
#mimetex(\sin (x+h) - \sin x = \sin x(\cos h - 1) + \cos ...
加法定理から上式が得られるので、導函数の定義を利用すると、
#mimetex(\lim_{h \to 0}\frac{\sin (x+h) - \sin x}{h}= \li...
同様にして、
#mimetex(\cos (x+h) - \cos x = \cos x(\cos h - 1) - \sin ...
この程度のことは極限が整理できれば簡単でありますな。つい...
#mimetex((\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}\ \ \{= -\csc^2 x...
なんとなく周期性があるわけですね。これらの事は、数学的に...
***対数函数・指数函数 [#e71672c8]
#mimetex((\log |x|)' = \frac{1}{x},\ (\log_{a} |x|)' = \f...
対数函数は自然対数の場合底を表記せず、指数函数の e はネイ...
#mimetex(\frac{d}{dx}\log |y| = \frac{y'}{y});
が成立します。この性質は「n次方程式」「指数函数」の導函数...
#mimetex((\log_{a}|x|)' = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\log...
さて本丸である対数函数の導函数を考えてみましょう。
#mimetex(\frac{\log_{a} |x + \Delta x| - \log_{a} |\Delta...
極限の対数を整理してやり、ここで &mimetex(h = \frac{\Delt...
#mimetex(\lim_{h \to 0}\frac{1}{\Delta x}\log_{a} 1 + \fr...
上式となって、これは収斂することが知られています。この極...
#mimetex(\lim_{h \to 0}(1 + h)^{\frac{1}{h}} = e = 2.7182...
e と定義すると、計算が楽になります。これを「ネイピア数」...
#mimetex(\lim_{h \to 0}\frac{1}{x}\log_{a} (1 + h)^{\frac...
このように整理でき、極限を底とした対数を取ってやると、後...
#mimetex((\log_{a}|x|)' = \frac{1}{x}\log_{a} e = \frac{1...
纏めてみれば一目瞭然として a = e の時、対数函数の導函数が...
数学Ⅱ で対数函数を扱った際、計算的な技巧としか思えない扱...
***他にも導函数が知りたいのですが [#x29dad5a]
他にも知りたいとは、君はなかなかの勉強家であると思われる...
#mimetex(\log |x| = \{x(\log |x| - 1)\}');
微分すると対数函数になる関係を憶えておくと役立つかもしれ...
**接線と法線 [#zee8e24c]
#mimetex(y-f(a)=f'(a)(x-a)\\y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a));
ここまで計算が中心だったけど、そろそろ微分の強みというか...
函数 f(x) の微分可能な区間における接線は、x = a において...
法線は接線と直交する直線。直角に交叉する直線同士の場合、...
**平均値と導函数 [#kd35cc3d]
閉区間[a,b]で微分可能な函数 f(x)、g(x)と、a < ξ < b な ξ ...
高校の教科書を見てみると、直感的解説だけで、證明が載って...
***Rolle の定理 [#r21297e5]
#mimetex(f(b) - f(a) = 0 \Rightarrow f'(\xi) = 0);
Lagrange の定理の特殊解。ここで f(a)=f(b)=0 としましょう...
恒に f'(x) = 0 ならば定理は成立します。f(x) が正の値を取...
x = ξ では、f(x) の変化量 Δf は 0 以下です。ですから、x =...
-Δx > 0 とすれば Δf/Δx は 0 以下。導函数の定義から、f'(ξ)...
-Δx < 0 とすれば Δf/Δx は 0 以上。導函数の定義から、f'(ξ)...
二つの条件を合算すれば、f'(ξ) = 0 にしかなりませんから、...
註：これは、極値が存在する場合、一階導函数が 0 に等しい事...
註：この定理は、閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能...
***Lagrange の定理 [#g4a6552e]
#mimetex(\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(\xi));
所謂平均値の定理は Lagrange の定理を指す事が多い。F(x) = ...
註：この公式は導函数の定義に似て居るが、b を a に近づける...
***Cauchy の定理 [#k25cbc3d]
#mimetex(\frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g...
Lagrange の定理の一般解（g(x)=x）。当然ながら、分母は 0 ...
F(a) = F(b) を整理すると、λ = f(b) - f(a), μ = g(b) - g(a...
ここで g'(ξ) は 0 ではない。若し 0 とすれば、仮定により g...
**函数のグラフ [#cd4b2726]
今まで考えてきた計算を除き、高校生が一番に微分法を利用す...
以下では変数 x に対して二回以上微分可能な函数 f(x) に関し...
***増減 [#v050ca58]
一階導函数は函数の変化率を示す。変化率が正の場合、変数 x ...
-f'(x)>0 の場合、f(x) の値は x の増分に対して増加し、これ...
-f'(x)<0 の場合、f(x) の値は x の増分に対して減少し、これ...
-f'(x)=0 の場合、x の増分に対して増減が無い。
これは重要な特性である。譬えばであるが、複雑な方程式の大...
なお変数 x の増分に対しての増減であることに注意して欲しい...
***極大・極小 [#abc6e99b]
曲線の増減が変わる点は、極値と謂って、極大点・極小点の別...
-f'(x) が正から負へ変わる点は、極大点となり、この時のf(x)...
-f'(x) が負から正へ変わる点は、極小点となり、この時のf(x)...
以上の定義を考えれば、f'(x) = 0 となる点を調べあげ、正負...
***凹凸 [#gbddfccf]
増減は更に凹凸へと分類できる。同じ増すでも、その勢いが「...
さて凹凸が増減の増減であることは述べたけど、実際に凹凸た...
-f''(x) が正であれば、f'(x) は単調増加。f(x) は...
-f''(x) が負であれば、f'(x) は単調減少。f(x) は...
***変曲点 [#e49cdb1b]
曲線の凹凸が変わる所を変曲点と謂う。つまり f''(...
***グラフの描き方 [#fba70a48]
増減表なる物が便利でよく利用される。大したことはない、単...
例題：xy 平面上の曲線 &mimetex(y = \frac{x^3 + 4}{3x^2});...
#mimetex(y' = \frac{x^3-8}{3x^3}, \ y'' = \frac{8}{x^4}, ...
定義域は x ≠ 0。だから連続ではない x = 0 の前後は調べる必...
#mimetex(y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3x^2});
今回の場合は式を整理してみると、x に関する極限で、収斂す...
#mimetex(\lim_{x \to \infty}(y - \frac{x}{3}) = 0,\ \lim_...
式をみれば y は発散しているが、その発散の仕方には &mimete...
|~x|…|0|…|2|…|
|~y|→↑|×|↓→|0|→↑|
|~y'|+|×|-|0|+|
|~y''|+|×|>|>|+|
ここでひとつ註を。この増減表は一般例の一つであって、書き...
増減表は凹凸を含めると増減凹凸表とも謂うみたいだけど、そ...
***グラフの活用法 [#q80515fb]
応用例題：&mimetex(ax = \log x); の異なる実数解の数を解析...
随分毛色が違いますなあ、などと謂わないで頂きたい。グラフ...
先に解法を述べてしまったけれど、解法には少し癖がある。y =...
つまり例題だと &mimetex(a = \frac{\log x}{x}); と変形する...
#mimetex(\lim_{x \to +0}f(x) = -\infty,\\ \lim_{x \to \in...
|~x|0|…|e|…|
|~f(x)|×|↗|&mimetex(\frac{1}{e});|↘|
|~f'(x)|×|+|0|-|
調べてみると、f(x) は実数全体を表さないことに気づく。y = ...
-&mimetex(\frac{1}{e} < a); の時、実数解無し
-&mimetex(a \le 0,\ a = \frac{1}{e}); の時、実数解一つ
-&mimetex(0< a < \frac{1}{e}); の時、実数解二つ
&mimetex(e^{-\frac{1}{4}x^2} = a(x-3)); の場合の答えも示...
-&mimetex(a = 0); の時、実数解無し
-&mimetex(a < -\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{4}},\ -e^{-1} < a ...
-&mimetex(a = -\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{4}},\ -e^{-1}); の...
-&mimetex(-\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{4}} < a < \ -e^{-1}); ...
手元のテキストから抜萃したんだが、愛知教育大の過去問らし...
それから。実数解が解析できるということは、函数の大小も解...
**補稿 [#t27a0ae7]
高校では習わない表現と分野を纏めたり、ざっくり書いてみた...
***対数微分法 [#j109cb04]
対数函数は解析函数とか呼ばれてるそうですが、大変便利な奴...
例題：&mimetex(y=\sqrt[3]{\frac{(x+2)^4}{x^2(x^2+1)}}); ...
力技で解くと絶対に計算ミスをしそうですな。そこで対数微分...
補題：&mimetex(\log |y|); を x で微分し、例題の函数を対数...
#mimetex(\frac{d}{dx}\log |y|=\frac{d}{dy}\frac{dy}{dx}\l...
#mimetex(\log y=\frac{4\log|x+2| - 2\log|x| - \log(x^2+1)...
補題は簡単です。後はこれを組み合わせて例題を解きます。つ...
#mimetex(\log y=\frac{4\log|x+2| - 2\log|x| - \log(x^2+1)...
多くの場合、真数条件に拘う必要はありません。対数微分法は...
***速度と加速度 [#lf0f88e2]
#mimetex(\vec{v} = \frac{d}{dt}\vec{p},\ \vec{a} = \frac{...
ベクトルで表した理由は、向きと大きさを表現する必要性があ...
例題：【等速円運動】xy 平面上で等速円運動を繰り返す場合、...
上の例題を見ても、物理的現象を数学的に解析することができ...
***近似式の発見 [#o2830eac]
#mimetex(\lim_{h \to 0} f(a+h) \simeq f(a) + f'(a)\cdot h...
この関係は一次近似式と謂う式の関係である。この直截的解説...
例題：&mimetex(\sqrt[3]{730}); を一次近似し、小数第四位ま...
根の計算法は「開立法（立方根）」「開平法（平方根）」が知...
***近似式の展開 [#v1eebc0b]
#mimetex(\lim_{h \to 0} f(a+h) \simeq f(a) + f'(a)\cdot h...
更にこれが二次近似式である。a = 0 の場合を考えてやると、...
差し当たっては、随分前に「高校生向けの證明は無いだろうか...
二次近似式の項は一次近似式と一致する部分がある。これは、...
#mimetex(f(a) = \int_{0}^{a} f'(x)\, dx,\ f(a+h) = \int_{...
この値の関係と一階導函数のグラフにおける面積を考察する。f...
実際に図を描いて「一階導函数における接線」を引いてやると...
f(a+h) になる面積は既に図に明らかである。f(a+h)-f(a)の部...
以上これらの関係は、計算するうちに、證明をみるうちに、式...
***ニュートン法 [#q8534636]
ニュートンの方法とも謂うらしいけれど、今ここではニュート...
区間 [a,b] に於て f''(x)>0,f(a)>0,f(b)<0 とすると、f(x) =...
#mimetex(a_{n+1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)},\ \ a_1 =...
この数列 an は有界で且つ単調増加。また極限は f(x) = 0 の...
#mimetex(b_{n+1} = b_n - \frac{f(b_n)}{f'(b_n)},\ \ b_1 =...
という右から左へのbnの極限を考えることもできる。この場合...
これをニュートン法と謂う。面倒なので證明は略。凸函数であ...
***凹凸の意味 [#gdfc7db4]
凸函数と呼ばれる物がある。任意の二点を結ぶと領域内に収ま...
こう考えてみると、凹凸が違った物にみえてこないでしょうか...
***偏微分 [#ke8cbb98]
詳しくは述べないけれど、多変数函数の場合、全ての変数をあ...
#mimetex(z=f(x)+g(y),\ \frac{dz}{dx} = f'(x) + \frac{dy}{...
f(x) は多変数函数ではないので、x で全微分しても、x で偏微...
例題：xy 平面上の曲線 &mimetex(\frac{x^2}{\cos^2\theta}-\...
ふと平成二十二年度の阪大の入試問題（前期数学理系）を見て...
#mimetex(\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{\cos^2\theta}) = 2\frac{...
であるから &mimetex(\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\cdot\tan^2\...
#mimetex(y-b=\frac{a}{b}\cdot\tan^2\theta\cdot(x-a));
ここでは θ だけを定数と看做しているのがポイントであり、こ...
詳しく書くとややこしいから、概念の導入の意味を以て、上の...
***テイラー級数[#e37de8c9]
近似式を展開すると新たな近似式に繫がるらしいことは、「近...
#mimetex(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (...
x = a 近傍で成立します。この冪級数が求まる函数を、テイラ...
#mimetex(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^...
a = 0 の場合の特殊解を、特にマクローリン展開と謂うんです...
#mimetex(\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n,\ for\ |x|...
譬えば、この級数ぐらいは高校生でも理解できることでしょう。
参考：[[Taylor 展開（数理塾）>http://math-lab.main.jp/tay...
註：無限回微分が可能な函数は稀に思える。平均値の定理を有...
***高階導函数の公式 [#q73e7aba]
函数の積の微分、合成函数の微分の公式は知られてるけど、そ...
#mimetex(\frac{d^n}{dx^n}\{f(x)g(x)\} = \sum_{k=0}^n \beg...
合成函数の公式、Faà di Bruno の公式は、少し面倒だ。F(u)を...
#mimetex(\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}F(u) = \sum_{k=1}^n\...
ただし條件 i は、
#mimetex(i_1 \ge 0,\ i_2 \ge 0,\ \cdots,\ i_n \ge 0,\ k =...
を満たす数列 im を考える事を表す。
Leibnizの公式は兎も角、Faà di Bruno の公式は意味すらわか...
答：Faà di Bruno の公式の證明は、テイラー展開を利用する。...
*初等解析 - 積分篇 [#ha7d9116]
積分って概念は簡単なんだけど、体系的に纏めようとすると、...
**積分法とは [#a7c9b912]
**積分法の利用 [#l9b96bac]
**不定積分と定積分 [#sec4fbf4]
註：問題が無い限り積分定数は C で統一する。C は任意の値で...
**種々の積分 [#f4e3531a]
***積分の性質 [#hb3c0274]
***置換積分法 [#w05256a6]
#mimetex(\int f(x) dx = \int \frac{dt}{dx}\cdot f(g(t))\,...
不定積分では、&mimetex(x = g(t)); な媒介変数の関係が連続...
#mimetex(\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \int_{\alpha}^{\beta} \...
定積分において、t に関する積分として計算する事ができる。...
#mimetex(dx = \frac{dx}{dt}\cdot dt);
が成立している。このような数式を微分形式と謂うが、これは ...
***部分積分法 [#a5e22e67]
#mimetex(\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\, ...
この不定積分は、ライプニッツ則 &mimetex(\{f(x)\cdot g(x)\...
#mimetex(\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\, dx = \Big[f(x)g(x)\Big]...
定積分の場合、積分区間は不変であるから、積分の定義から上...
例題：不定積分 &mimetex(\int x^2\sin x\, dx); を解け。
**積分の解法 [#k9c510a8]
微分にもまして積分では技巧的になる。まづ知らないとすぐに...
応用例題：不定積分 &mimetex(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}}...
五分とか十分程度でいいから、今までやってきた知識を使って...
***積分の準備 [#s9e624b1]
-自分の知って居る函数に帰著するように式を変形する。
-円函数は積和・加法定理等でなるべく冪の積分を避ける。
-無理函数は有理化する。有理函数は部分分数分解を行ってみる。
-奇函数や偶函数の定積分は、計算的「省略」が可能。
例題：&mimetex(\int \frac{dx}{1+\sin x} = \int \frac{1 - ...
例題：&mimetex(\int \log x\, dx = \int (x)'\cdot\log x\, ...
なかなか解けたものではない事に気づかれる筈。慣れるしかな...
例題：不定積分 &mimetex(I = \int e^x\sin x\, dx,\ J = \in...
似たような問題を「部分積分法」で提示したが、こちらは消え...
#mimetex(I = e^x\sin x - J,\ J = e^x\cos x + I\\ \therefo...
が成立するので、これを解いてやると、不定積分が得られる。
#mimetex(I = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C,\\ J = \...
勿論、二回部分積分を繰り返しても同じ結果になるのは明らか...
***複素解析への誘い [#s8dec498]
#mimetex(I = \int e^{ax}\sin bx\, dx,\ J = \int e^{ax}\co...
上掲の不定積分 I, J を更に一般化した式を考えてみる。部分...
#mimetex(J + iI = \int e^{x(a + bi)}\, dx\\ = \frac{e^{x(...
今、左辺と右辺の実部と虚部に著目すれば、簡単に不定積分が...
#mimetex(e^{xi} = \cos x + i\sin x);
と謂う複素解析の常識（オイラーの公式）を利用している。こ...
***部分積分の要諦 [#q8695bef]
#mimetex(\int R'(x)logx\, dx);
この不定積分は、R を微分可能な有理函数ならば（註：次の「...
#mimetex(\int R'(x)logx\, dx = R(x)log x - \int \frac{R(x...
この様な手法において、特に、R(x) = x と解釈する例（logxの...
***有理函数 [#ld9bbf8f]
多項式の函数は必ず積分できる。積分が線型性を有し且つ積分...
部分分数分解の結果得られる被積分函数は次の三通りでしかな...
#mimetex(\int \frac{1}{(x+a)^n}\, dx,\ \int \frac{x}{(x^2...
これらの積分は、部分分数分解で得られる分数を、めいめい分...
ここで憶えておいて欲しいことは、初等的手段で積分可能な函...
***円函数 [#b1b16d03]
円函数で表される有理函数は、有理化可能、すなはち積分可能...
#mimetex(t = tan \frac{x}{2},\ dx = \frac{2dt}{1 + t^2},\...
高校生向けの問題集、オリジナル数Ⅲには掲載されていたので、...
#mimetex(\int F(\cos x,\sin x)\, dx = \int F(\frac{1 - t^...
式を見れば、瞭然として、有理化が完了したことを諒解できる...
#mimetex(F(\cos x,\sin x) = f(\cos x) + g(\cos x)\sin x\\...
F,f,g,Φ,ψ はいづれも有理式であるが、この操作は必ず実行で...
***無理函数（甲種） [#l787cad3]
分子か分母かで話は変わるが、一般的には円函数を用いる。或...
F(x,y)を有理式とすると、&mimetex(\int F(x,\sqrt{ax^2 + bx...
#mimetex(\sqrt{(x-a)(b-x)} = (\frac{b-a}{2})\sqrt{1-t^2});
と謂う変形が &mimetex(x = \frac{b-a}{2}t+\frac{b+a}{2}); ...
#mimetex(\sqrt{x^2 + p^2} = \frac{p}{\cos\theta},\ \sqrt{...
有理化は x = ptanθ,psecθ,psinθ で実行できる。この時、根号...
***無理函数（乙種） [#q4784713]
搦め手で攻めて見よう。今度は、&mimetex(\int F(x,\sqrt{ax^...
***高等函数 [#kd2fbc56]
ガウス積分は積分できない。対数積分は積分できない。無理函...
***他にも積分が知りたいのですが [#e2a3b35e]
豪儀な奴だ。「導函数」でも述べたけど、物事には限度って物...
応用例題：定積分 &mimetex(\int_{0}^{2} \frac{2x+1}{\sqrt{...
流石と謂うべきか、高校生に必要な技巧の殆どを要求する問題...
#mimetex(\int_{0}^{2} \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}\, dx = \i...
これが解答なわけですが、解けましたでしょうか。解けた？ ...
さて。実はこれ、「積分の解法」で示した応用例題の解答でも...
#mimetex(t = \log(x + \sqrt{x^2 + a}),\ \frac{dt}{dx} = \...
この問題は、t の x に関する導函数を求めるものでしたが、
#mimetex(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}} = \log(x + \sqrt{...
上の不定積分を示唆してますな。府大の問題は、これを利用し...
#mimetex(u = \sin\theta,\ x = \sqrt{a}\tan\theta,\ \int \...
長くなりましたが、最後に log a を積分定数に放り込んでしま...
#mimetex(t = \cosh^{-1} x \ (a = 1));
これは逆双曲線函数です。双曲線函数は「導函数」で言及した...
**積分方程式の微分法 [#e2750aaf]
**区分求積法 [#p35b3745]
#mimetex(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n f...
**定積分の大小 [#kdc527b0]
**求積法 [#p654f548]
***面積 [#m075ab6c]
***体積 [#se3f7921]
**微分方程式 [#h2ace89d]
**補稿 [#db918ab7]
***部分分数分解 [#uec64a1d]
代数学の基本定理を利用する。
***曲線の長さ [#ee3b39a0]
***速度と道程 [#w505f763]
数学Ⅲでは函数&mimetex(x=f(t), y=g(t));を与えた時に(x,y)が...
&mimetex(L=\int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy...
&mimetex(L=\int_{a}^{b} |\vec{v}|\, dt);
***変数分離法 [#z2f161b1]
***取り尽くし法 [#rddcdd49]
***微分方程式の解法 [#k817462b]
***重積分 [#kda76565]
多変数函数の積分。いろいろ複雑。
***積分の拡張 [#g51cad58]
ルベーグ積分：連続性によらない積分。積分や微分では、今ま...
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