数学 > 解析学（analysis）
微分や積分は解析学と称されます。旧課程の教科書では「数学一・基礎解析・代数幾何・確率統計・微分積分」と分かれていたのですが、新課程の現在ではこれを適当に纏めてあります。このうち基礎解析とは、多くの函数や方程式、微分や積分を扱う分野（というか微分積分の前に履修するべき分野）でした。
なぜ微分や積分は解析学と呼称されるのでしょう。この分野では、多く、ニュートンやライプニッツの業績が讃えられます。従ってその解析対象は、まさしく、自然科学を解析するために生まれたのです。現在では函数自体を解析するなんてこともありますが、そもそも解析学とは、変化する量がどのように変化しているのかを考えるためにあるのです。
なおこの微分・積分の発見、どうも時代的必然であったようです。幾らかの発見に概して云えることかもしれないけど、人類が条件を満たしたとでもいいましょうか、ほぼ同時期に違う学者が発見してるんですね。現代数学の系譜であるニュートンやライプニッツに埋もれた、関孝和とかを忘れないであげてほしい。
第一に種々の函数の取扱い方。線函数、抛物線函数、橢円函数、双曲線函数、円函数、指数・対数函数、と高校レベルであっても数多い函数を取扱うが、どれひとつ欠けてはならない。
次に極限の性質。&mimetex(\lim_{\theta \to 0 } \frac{sin\theta}{\theta} = 1); とかは、常識であると認識せねばならない。
更にまた、&mimetex(\lim_{\theta \to 0 } \frac{sin2\theta}{\theta} = 2\lim_{2\theta \to 0 } \frac{sin2\theta}{2\theta} = 2); のように変形するといった事も、忘れてはならない。
微分とは読んで字のごとく、細分化する作業。解析学について述べた「変化する量がどのように変化しているのか」ってのがポイント。
抛物線は一様な変化をしないため、よく例題として取り上げられます。ここでも例によって、&mimetex(y=x^2); のグラフPを眺めながら微分法を考えます。
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||||||
| y | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | ||||||
| Δy/Δx | - | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | - | |||||
物理を初めて習った時、実験データの解析（移動距離と速度）で図を書かされた事を思い出して、上の増減表を用意してみました。変数 y を変数 x で解析してみましょう。なおΔ（delta） はdifference「差」を意味します。
変数 x が同じ値（ここではΔx = 1）だけ変化した時、変数 y はどのように変化しているでしょうか。それを列挙してみたのが Δy/Δx = Δy の部分です。どうにも等差数列になっていて、どこかしら規則性があるように思えます。
次に変数 x の変化量を Δx と置き、y の 変化量 Δy とその平均変化量を考えます。上の図では、平均変化量を「Δy/Δx」と表記しました。Δx=1 で解析していたので、平均変化量 Δy/Δx は y の変化量 Δy に等しいとしても良かったのですね。
x→x+Δx の時 &mimetex(y+\Delta y=(x+\Delta x)^2); ですから、Δy の値は、&mimetex(\Delta y=(x+\Delta x)^2-x^2= \Delta x(\Delta x + 2x));と与えられます。これは数式を変化させただけですから、自明だと思われます。
次に Δy/Δx を求めてみましょう。明らかに &mimetex(\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x + \Delta x); です。これは何を意味する式なのでしょうか。
もし仮に、Δx が微細であるとき、つまり変数 x の変化量が僅かであるならば、Δx は 0 に近似します。つまり Δy/Δx = 2x という近似式が得られるのです。微分法とは、「ある変数の変化量が微少変化であるとき、その変数で定義される函数の変化量は幾らか」を求めるものなのです。
連続したグラフ上の二点間を結んだ直線の傾きは、その二点間の平均変化量（Δy/Δx）を表しています。グラフP の場合で、その事実を確認してみて下さい。x が 1から3に変化したとき、平均変化量 4(=9-1/3-1)は、たしかにx=1とx=3の二点間を結んだ直線の傾きとなります。このことはとても重要な事実です。
変化前の点を点S、変化後の点を点Tとしましょう。先程の Δx が微小変化量であるときの仮定は、グラフ上の二点すなはち点Sと点Tが近接することを表します。つまり点Sが点Tに一致すると看做せる事から、「近接二点S-T間の平均変化量（Δy/Δx）は、点S（=点T）における接線の傾きである」と看做すことができます。
譬えば P の場合、Δy/Δx = 2x という近似式が求まりましたが、この式に点S の x 成分の値を代入すると、点Sにおける接線の傾きが求まります。次節からはこの事に関して、より詳細な検討を始めます。また以上の説明はだいたい教科書に載っているような説明の抜萃であって、詳細は、そういう書籍を参考にしてください。
微分とは微分係数や導函数を導出することを謂う。
#mimetex(\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a));
函数 f(x) において上の極限が存在するとき、「f(x)は x=a で微分可能である」と謂い、極限を f'(a) と書き表してこれを「x=a における微分係数」と謂う。微分可能な区間が実数全域に跨がることは、数多く存在する函数からみると稀であって、だからこういうややこしい言い方をする。
#mimetex(f'_+(a) = \lim_{h \to +0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h});
#mimetex(f'_-(a) = \lim_{h \to -0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h});
更にまた y = 1/x などは、x=0 の前後では全く異なる値を取っている。この前後はデカルト平面におけるグラフでみるとx=0の左右にわかれる。だからx=aの微分係数を、左側微分係数 &mimetex(f'_-(a)); と右側微分係数 &mimetex(f'_+(a)); と呼び分けて考える。左右の微分係数が一致する区間における函数は「連続である」と謂い、微分可能である。譬えば &mimetex(f'_-(a) = f'_+(a)); とならないと、x=a における微分係数 &mimetex(f'(a)); は、どちらの値を採用すればいいのかわからなくなるでしょ？
つまり函数が連続でなければ、接線の傾きや平均変化量と謂った数値も求まらないわけで、その区間で微分はできません。ただし函数が連続であっても、必ずしも微分できるわけでもありません。
#mimetex(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x));
微分可能な函数の微分係数を、微分した変数で表すことができる場合があります。この函数を導函数と謂います。明らかに連続な函数の場合、上の極限によって導函数が求まります。
また、さっきまでΔで表してた表記を、数学における微分法では d で表記します。y=f(x) の導函数は &mimetex(f'(x) =\frac{dy}{dx}= \frac{d}{dx} f(x)); といった具合で、dy/dx なら「yをxで微分する」という意味になります。ライプニッツの考案した表記法でとても便利。
対数函数は解析函数とか呼ばれてるそうですが、大変便利な奴です。
例題：&mimetex(y=\sqrt[3]{\frac{(x+2)^4}{x^2(x^2+1)}}); を微分せよ。
力技で解くと絶対に計算ミスをしそうですな。そこで対数微分法の出番です。
補題：&mimetex(log |y|); を x で微分し、例題の函数を対数函数で表せ。
#mimetex(\frac{d}{dx}log |y|=\frac{d}{dy}\frac{dy}{dx}log |y| = \frac{dy}{dx}\frac{1}{y} = \frac{y'}{y});
#mimetex(log y=\frac{4log|x+2| - 2log|x| - log(x^2+1)}{3});
補題は簡単です。後はこれを組み合わせて例題を解きます。つまり対数函数で整理した式の両辺を x で微分してやって、最後に導函数を導くという寸法。
#mimetex(log y=\frac{4log|x+2| - 2log|x| - log(x^2+1)}{3}\\ \ \ \ \ \frac{y'}{y} = \frac{d}{dx} \frac{4log|x+2| - 2log|x| - log(x^2+1)}{3}\\ \ \ \ y' = \frac{y}{3}(\frac{4}{x+2} - \frac{2}{x} - \frac{2x}{x^2+1})\\ \ \ \ \ \ \ = -\frac{2(4x^2-x+2)}{3x(x^2+1)} \sqrt[3]{\frac{x+2}{x^2(x^2+1)}});
多くの場合、真数条件に拘う必要はありません。対数微分法は冪乗や根や分数の函数の導函数を処理するのに最適となります。この解法を対数微分法と謂います。