やはりプログラミングに数学はつき物です。ここではよく使われる数学について簡単に解説します。
プログラムで「函数（function）」って云うよね。数学で扱う函数から見れば異質としか言いようが無いけど、しかし、やはり函数は函数なのです。では、函数とはなんぞや。
ところで数学（者）は、厳密な論理を重視し、高度な抽象化を行い、命題を導くことを目的とします。一見堅苦しい作業に思えるのですが、厳密に且つ抽象的に処理を行うことが、驚異的柔軟性を導いてくれます。譬えば「線型接続」の素晴らしさは、柔軟さゆえの事でしょう。
つまり、函数を抽象化してやると、「任意の値に関する答えを返してくれる処理」とも考えられるわけで、プログラムの処理も「函数」に該当するわけ。これもまあ柔軟と云えばそう。
プログラムだと、動けばいいやと思ってしまえば、動画変換のプログラムは何でもいいことになる。でも実際はそうじゃない、なるべく効率的で高速な物を考え、実現する。プログラムと同じように、数学にも効率化する方法がある。結論として、数学における効率化は「厳密な論理」と「抽象化」と僅かばかりの発明からくる「柔軟性」であって、何が云いたいかと云うと、「何でこんなことイチイチ確認するんだ」と謂う場合、そこに驚くべき本質があるからだと思って欲しいので、毛嫌いせずに見てやって欲しいと謂う事です。
Wikipedia の数学記事とかみてると、表記に圧倒される。さっぱりわからない。そのことは論理式や集合論の表記に起因してるような気がする。特別な表記法は、その分野を学ぼうと志せば、意識せずとも真っ先に確認するだろうし、導入部分にも注意されてるけど、共通語になってる部分はそうでもない。
結構断り無く使用される演算子とか。「∥（平行）」「⊥（垂直）」「∴（結論；故に）」「∵（理由・根拠；〜から、なので）」とかは問題ないですかね。
後ですね、「∮」とかどうでしょう。「∮」は積分記号「∫」の一種で、周回積分（閉路積分／経路積分）と謂う概念を表します。しかるべき場所で確認されると良いかと。
列挙してある条件で、「P,Q,R」とあると、「かつ」か「または」かを見極める必要があったりする。とくに解説なし
十分条件と必要十分条件って奴。「⇔」は命題における等号ともとれる。
最初は兎も角、最後二つは悪名高い概念かと。「∀x」は「任意のxについて（for any x）」と謂う意味。「∃x」は「ある x が存在して」と謂う意味。特に「述語論理」と呼ばれる式たちでして、奥が深いの調べてみるがヨロシ。ちなみに「命題」を中心とした論理は「命題論理」と謂って、高校で扱ってる論理学的な問題はだいたいこれ。
集合（set）は大文字で書き、集合を構成する要素は元（ゲン；element）と謂い小文字で書く。集合は元のあつまりであって、元の数は集合によって任意である。集合の性質は群論や環論などにも拡張される。
暗黙的に利用される集合に上の例がある（P 以降はオマケ）。区別のために二重線や「Fraktur/Black letter（ドイツ文字）」にすることもある。忘れてしまっても文脈でわかることもあるぞ。
「a ∈ R」と書けば、a は実数集合 R の元であり、つまり a は実数であることを表す。
A = {1,2,3} と B = {7,8,9} の直積集合（後述）を M = {(a,b); a ∈ A, b ∈ B} とすれば、集合 M は (1,7) 等の元を持ちます。
集合の大小のような事（包含関係）を比較して表した物です。部分集合は一致する可能性もあります。
集合の演算です。新たな集合を作ります。直和集合は和集合と同じですが、積集合が空集合であることが暗黙に諒解されます。「M = {1,3,8}, N = {2,5,9,17}」なら「M ∩ N = ∅」ですね。集合の演算は他にもありますが割愛（差集合／補集合／冪集合／商集合 etc.）。
これ以上は専門的というか、分野が偏ることになる（もう十分偏ってるかもしれん？ それはスマン）。何にせよ、数式の意味が分からないと、理解以前の問題なので、表記例についてはしっかりと確認すべきです。参考書や教科書のページは飛ばさずに読まないと、酷い目に合い兼ねない。
で、これで専門書や Wikipedia の式は読めますかと訊かれると、答えに窮する。ガンバッテネとしか言いようが無い。
初等的算術としては四則演算が有名ですが、四則演算にも證明が存在したりする。
数学的な解釈を挟み込んでやるとすれば、人が普段扱う程度の大きさの数ではたしかに四則演算は成立するかもしれないが、「数」を厳密に定義して「四則演算」が可能であることを示してやらないと、「全ての数」で四則演算が成立するという證明にはならないわけ。
まあこれは数論の世界のお話だったりするわけですが、「四則演算」の対象である「数」には「代数」も入ります。「代数」は、それこそ数学的概念の任意の物であって、「行列」を「数」と看做して「代数」とすれば、「四則演算」が必ずしも成立するとは限りませんね。
「行列」を「数」とした例をみてもわかるように、算術を丁寧に證明してやることはとても大事な事なのです。教科書には、それが自明であるとしても、「結合法則」だの「分配法則」だの無駄に書いてあるわけではないので、それらの法則を「この算術は安全である」と證明してくれた偉大なる数学者達に、たまには感謝してあげて欲しい。
exp 函数とか、冪をわざわざ函数で表す事がある。このようにして、函数はたくさん定義できる。
与えられた数 x より1大きいだけ大きい数 y を示す函数 y = f(x) = x + 1 だって立派な函数だ。これを ore function とでも呼んで、略して o(x) で表すゾと謂う諒解を取り付けてやると、数式を並べて書くうちに、ore(1) と自分で定義した函数が使える（！）わけ。特に函数を定義することが有用であるなら定義されるのであって、一般的に好き放題な略称や略記を導入することはない。
譬えば、四則演算を拡張して、余りを考える算術を導入する。mod 函数（modular function）だ。C言語では「%」などの記号でこれを表すけど、mod 函数の影響もあってか、こんなものまであるわけ。
数学における表記「p (mod q)」は「p は q を法として」一般的には読め、意味は「p を q で割ると」程度のもの。「r ≡ p (mod q)」は「p は q を法として r と合同」と読め、意味は「p と r は、q で割った余りが同じである」と謂う意味になる。これを剰余系に合同であると謂い、mod 函数の式は「合同式」とよばれる。
p を q で割った時の余りは、0以上q未満の整数であって、p をこの余りで分類してやると、q 箇の集合を考えることができる。この集合を剰余系と謂い、合同であるとは、余りを同じくする集合と合同であることを表す。
とまあ、ザックリするつもりが、随分堅苦しい説明になったけど、詳しくは数論を見て貰うとして、合同式の具体例を挙げてみると「23 ≡ 51 (mod 7)」と表現できたりする。
これらモジュラー函数に関しての、数論の他分野応用はあり得ないとされた為に、その手の研究はあまり進んでないけれど、昨今では暗号技術等に関する数論の応用があって、注目されてたりする。たとえばRSA暗号では素数と余りの関係を用いた式が暗号復号化を表し、その理論は合同式で證明される。
モジュラー函数は、日本人によって、楕円方程式の関連が予想されていた。氏の名前を取り谷山・志村の定理と謂うけれど、その定理の證明は、フェルマーの最終定理を導いたアンドリュー・ワイルズによってなされた。フェルマーの最終定理事体が難解な（しかしその式は平易な）数論の問題であったけれども、その問題の本質は、楕円方程式とモジュラー函数に密接な関係を持つものだった。ワイルズは楕円方程式とモジュラー函数を超越した。
最近では楕円方程式による暗号も盛んである。楕円曲線暗号って奴だ。これはRSA暗号がモジュラー函数による暗号であることを考えれば、ワイルズの證明を以て、楕円曲線でも暗号が利用可能であるとわかる。暗号を技術を学びたい人は、数論を学んで損は無いでしょう。
近代における歴史的経緯を振り返ってみると、その要因は多くある。突飛な函数や概念、手法が、数学にとって革命的であったことは数知れない。恐らくは現代数学でさえまだ未発達なのであって、数学と謂う学問の輪廓は、私如きには見えもしない。
リーマン予想と「数論的量子カオス」。聞いただけでゾクゾクするね。
加筆募集中。
総和(そうわ、summation)とはある集合の項その総ての和であり、いわゆるExcelのSum関数です。つまり全部足す、だから総和です。&mimetex(\sum_{i=1}^n x_i);のような書式で表されます（ゼータ∑はギリシヤ語のSを表し、シグマと呼ぶ）。項数iが1から始まってnまで、項はXiがX1からXnとなるので、それXiを足していくという意味です。なんだかforループみたいですね。
#mimetex(\sum_{n=1}^5 2n = 2\times 1 + 2\times 2 + 2\times 3 + 2\times 4 + 2\times 5);
のように展開されます。
プログラムで書くと以下のようになります。
int i, sum=0; for(i=1; i<=5; i++) sum += 2*i; return sum;
ただこれは、数Ⅱの数列をやればわかるけれど、一般化された解が存在することがある。Xn=nの場合、その総和は初項から第n項までなら、n(n+1)/2 と定まるようにね。
総和が干渉するのはその項数のみ。従って次の計算ができる。
#mimetex(){{ \begin{array} m \times \sum_{k=1}^n a_k & = & \sum_{k=1}^n m \times a_k \\ \sum_{k=1}^n (a_k + b_k) & = & \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k \end{array} }}
当り前と言えば当り前。したがって次の変換には要注意である。&mimetex(\sum_{k=1}^n n \times k = n \times \sum_{k=1}^n k);
なおこの変換とこの式とを区別すること。&mimetex(\sum_{k=1}^n k^2);
総和する項数を無限大にまで拡張したもののこと。ハハハそんなの求まりっこないよ、とおもうかもしれないけれど、これは求まることがある。数Ⅲの極限をやりたまえ。
#mimetex(\zeta (s) = \sum^{\infty}_{n=1} { 1 \over {n^s}}); 同じゼータでも小文字のζ（スティグマ）で表す。ベルンハルト・リーマンによって定式化された、とっても重要な式。もともとは数学的な探究のひとつとして、この式のs=2のときの無限級数には解が何と定まるかを求める問題だった。收束することは明らかだけれど、その値を求めることができず、この問題が提示されて百年後にオイラーによってテイラー展開を用いる解法が示された。これをバーゼル問題といって、これに着目したリーマンがゼータ関数として一般化した。現在でも求める事のできないsの値が存在する。
一往に「足し算？ ちょろい」といってもそう簡単に求まる物でもないのでその例を示したっすよ。
#mimetex(\prod_{i=1}^n x_i);
総乗はΠ（パイ）で表す。やることは総和に同じだけれど、收束條件がきびしい。
下記はだいたい大雑把なので。ⅠAとⅡB、ⅢCとあるんだぜ。大学でも数学をやる人たち（理系の人）は、ⅢCまでが必修の扱い。京大とか行列（数C）だすよと公言する一部を除いて、文系の人はⅠAとⅡBまでって感じ。でも文系では経済学とかは偏微分とかも含まれるから、結局数Ⅲはある程度理解する必要もあったり。
年度によりけりで「過程」が変われば内容もかわる。基本的には、ⅡBをやるにはⅠAの理解、ⅢCをやるにはⅡBの理解、と段階的に学習できるようになってますよ。
方程式、二次関数はここがわからないと、高校レベルの理科と解ける問題が半減すると言っても過言ではない。三角関数は正弦・余弦定理と三角形の面積の求積まで。ヘロンの公式とかもここかな。数Ⅰは次の通り。
確率は、確率の基礎。統計的拡張は数C。二項定理を含むよ。平面図形は、幾何の基礎。 ベクトルなんかだと、ここの幾何が分ってないと式の流れが分らなくなるかも知れません。数Aは次の通り。
かなり重要な分野が多い。関数は頻出のsinだとかlogだとか、それから自然対数e（ネイピアさん）も。対数のあたりで極限のためのlimさんも登場する。なかなかよく要点の纏まった過程だと思う。物理の力学では、微分・積分法の考えかたが沢山（ただし高校物理では使わずに教えることになってるので学校によっては説明してくれない。）あります。そこはこれと併せて学べばよいでしょう。数Ⅱは次の通り。
複素数平面は好きならやってね。統計は普通やらないみたい。数Aでの初歩的な統計の考えを拡張して、最後は数Cの正規分布までたどり着くのが統計の目的。数Bは次の通り。
積分は置換・部分積分の導入がある。物理の角速度を理解するには、ここまでの学習が入り用。微積には曲線の長さも含まれるよ。数Ⅲは次の通り。
確率以後は普通やらないらしい。統計処理の用語がExcelの変な函数とかにあるネ、あれを理解するにはこれが必要ってわけ。偏差値計算ができるようになるぜ。数Cは次の通り。
無茶を仰る。ザックリまとめてあげよう。
まあこんなとこでしょうな。勉強法としては、上三つの最低限のレベルを理解（数論極めてフェルマーの最終定理とか、群論とか、そんなの理解してどうすんのさ）して、後は真ん中をいったりきたりでしょう。そういう意味では、今の高校数学はよくできてると思う。